拉普拉斯变换

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1、自动控制原理自动控制原理拉普拉斯变换拉普拉斯变换1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理3 拉氏反变换拉氏反变换4 拉氏变换应用举例拉氏变换应用举例1 拉氏变换的概念本章简要叙述拉氏变换（和拉氏反变换）的概念、拉氏变换本章简要叙述拉氏变换（和拉氏反变换）的概念、拉氏变换的运算定理和应用拉氏变换求解微分方程的基本方法，并通的运算定理和应用拉氏变换求解微分方程的基本方法，并通过拉氏变换应用举例，介绍了典型一、二阶系统的单位阶跃过拉氏变换应用举例，介绍了典型一、二阶系统的单位阶跃函数和典型一阶系统的单位斜坡响应。函数和典型一阶系统的单位斜坡响应。 拉普拉斯变换（拉普拉

2、斯变换（The Laplace Transfrom）（简称拉氏变换）（简称拉氏变换）是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程式变换成代数是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程式变换成代数方程，并且在变换的同时即将初始条件引入，避免了经典解方程，并且在变换的同时即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解题的过程大为简化。题的过程大为简化。在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变传递函数基础

3、之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础。1 拉氏变换的概念 若将实变量的函数，乘以指数函数若将实变量的函数，乘以指数函数(其中，是一个复变数其中，是一个复变数)，再在，再在0到到 之间对进行积分，就得到一个新的函数。称之间对进行积分，就得到一个新的函数。称为拉氏变换式，并可用符号为拉氏变换式，并可用符号 表示。表示。 上式称为拉氏变换的定义式。为了保证式中等号右边的积上式称为拉氏变换的定义式。为了保证式中等号右边的积分存在（收敛），应满足下列条件：分存在（收敛），应满足下列条件： 当当 ，

4、 ； 当当 ， 分段连续；分段连续； 当当 ， 较较 衰减得更快。衰减得更快。 s是复数变量，是复数变量，s=+j( )L f t0( )( )( )stF sL f tf t edt（1）0t ( )0f t 0t ( )f tt ste( )f t1 拉氏变换的概念由于由于 是一个定积分，是一个定积分，t 将在新函数中消失。因将在新函数中消失。因此，此， 只取决于只取决于s，它是复变数，它是复变数s的函数。拉氏变换将原来的函数。拉氏变换将原来的实变量函数的实变量函数 转化为复变量函数转化为复变量函数 。拉氏变换是一种单值变换。拉氏变换是一种单值变换。 和和 之间具有一一对应的之间具有一一对

5、应的关系。通常前者称为原函数，后者为象函数。关系。通常前者称为原函数，后者为象函数。由拉氏变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函由拉氏变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函数。例如数。例如例例1：求单位阶跃函数（：求单位阶跃函数（Unit Step Function）的象函数。）的象函数。 在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合当一个开关的闭合(或断开或断开)。在求它的象函数前，首先应给。在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式出单位阶跃函数的定义式 0( )stf t edt( )F s

6、( )f t( )F s( )f t( )F s1 拉氏变换的概念在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。由式由式(1)有有 0(0)1( )1(0)ttt0011( )1( )1ststF sLtedtess （2）1 拉氏变换的概念例例2：求单位脉冲函数：求单位脉冲函数(Unit Puise Fuction)的象函数。的象函数。设函数设函数 函数的特点是函数的特点是 单位脉冲函数单位脉冲函数 定义为：定义为： 在在 时及在时及在 时为时为0，在，在t=0时，时， 由由 ；又由；又由 。但对时间的积分为。但对时间的积分为1。即。

7、即 0(0)1( )(0)0()tttt ( ) t0001( )( )1t dtt dtt( ) t0( )lim( )tt( ) t0t 0t ( ) t00 000( )lim( )1t dtt dt（3）1 拉氏变换的概念在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。它的变换式由式（号。它的变换式由式（1）有）有0( )( )( )stF sLtt edt00lim( )( )ststt e dtt e dt00000111limlimlim1sststee dtess(4)1 拉氏变换的概念例例3： 求求 与与 间的关系间的关

8、系 由以上两例可见，在区间（由以上两例可见，在区间（0，）里，）里 ，而，而 ，所以，所以由上式有由上式有 ( ) t1( ) t11 ( ) tt1( ) t1 ( )1( )dttdt001 ( )limlim( )dttdt（5）1( )( )d ttdt2.1 拉氏变换的概念由上式有由上式有 （6） 由式（由式（5）和式）和式(6)可知：单位阶跃函数对时间的导数即为单可知：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶位脉冲函数。反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。跃函数。例例4：求斜坡函数（：求斜坡函数（Ramp Function）的象

9、函数。）的象函数。斜坡函数的定义式为：斜坡函数的定义式为： 在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号号。在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，根据拉氏变换的定义式有：。同理，根据拉氏变换的定义式有：1( )( )tt dt0(0)( )(0)tf tKtt式中式中K为常数为常数2.1 拉氏变换的概念若式若式K=1，即单位斜坡函数，即单位斜坡函数 0( )stF sL KtKtedt0ststeKedtKtss20stKKe dtss（7） 21L ts1 拉氏变

10、换的概念 例例5：求指数函数（：求指数函数（Exponential Function） 的的象函数。象函数。 由式（由式（1）有）有 0( )ttstF sL eeedt()()0011sts tedtess（8）te欧拉公式：欧拉公式： sin2cos2cossinj tj tj tj tj teetjeetetjt1 拉氏变换的概念实用上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对实用上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数，十分方便。，或象函数的原函数，十分方便。 ()()0012

11、sjtsjtedtedtj22111()2j sj tsj ts(9)001( )sinsin()2stj tj tstF sLtte dteee dtj例例6. 求正弦函数（求正弦函数（Sinusoidal Function） 的象函数。的象函数。( )sinf tt2 拉氏变换的运算定理在应用拉氏变换时，常需要借助于拉氏变换运算定理，这在应用拉氏变换时，常需要借助于拉氏变换运算定理，这些运算定理都可通过拉氏变换定义式加以证明，现分别叙些运算定理都可通过拉氏变换定义式加以证明，现分别叙述如下：述如下：一、叠加定理一、叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数两个函数代数和的拉