积分变换第一章习题及答案

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1、1第一章 Fourier变换1 重点和难点重点和难点2 内容提要内容提要3 典型例题典型例题 一、重点与难点一、重点与难点重点重点：难点难点：1 求函数的求函数的Fourier变换变换求函数的求函数的Fourier变换变换2 Fourier变换的简单应用变换的简单应用傅氏积分定理傅氏积分定理 若若f(t)在在(- - , + )上满足条件上满足条件: : 1). f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件在任一有限区间上满足狄氏条件; 2). f(t)在无限区间在无限区间(- - , + )上绝对可积上绝对可积, , 则有则有jj1( )( )dd2tf tfee - - - - - ( )(0)(

2、0)2f ttf tf t - -成成 立立 而而 左左 端端 的的在在 它它 的的 间间 断断 点点 处处 应应 以以来来 代代 替替, , ,. .(,)|( ) | df tt - - - - 在在绝绝 对对 可可 积积 是是 指指 的的收收 敛敛 . .1 Fourier积分定理积分定理二、内容提要二、内容提要若函数若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件满足傅氏积分定理的条件, , 则在则在f(t)的连的连续点处续点处, , 有有jj1( )( )eded2tf tf - - (1)式叫做式叫做f(t)的的Fourier变换式变换式, , (2)式为式为F( )的的Fourier逆逆变换

3、式变换式, , f(t)与与F( )可相互转换可相互转换, ,可记为可记为F( )= f(t) 和和 f(t)= -1F( )jj1( )( )e( )( )ed1)d(2)2(ttfFftFtt - - 设设则则2 Fourier变换变换称称de(t)的弱极限为的弱极限为d-函数函数, , 记为记为d(t).即即0( ) ( )dlim( ) ( )d(0( ),)t f ttt f ttf tfe ee edddd-对对任任意意的的若若1/0( )0tte eeeeed d 其其中中其其它它de(t)1/eeO0lim()()tte ee ed dd d 3 单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉

4、冲函数及其傅氏变换（2 2）( ) td d td d 函数为偶函数函数为偶函数, ,即即()( )ttd dd d- - （3 3）( )tt dtd d- - u t 其中其中, 10( )00tu tt 称为单位阶跃函数称为单位阶跃函数. .反之反之, ,有有 ( )du tdtd-函数有性质函数有性质:(1)(1)00( )d1( )( )d(0)()( )d()tttf ttfttf ttf td dd dd d - - - - - - - - 及及两个常用的积分：(4)( )f t若若为为无无穷穷次次可可微微的的函函数数, ,则则有有( )( )(0)tf t dtfd d - -

5、 - - 一般地，有一般地，有( )( )( ) ( )( 1)(0)nnnt f t dtfd d- - - 0jj()0ed2( )ed2()tttt d d d d - - - (1).(1).线性性质线性性质 设设F1( )= f1(t), F2( )= f2(t), a a, b b是常数是常数, ,则则 a af1(t)+b bf2(t)=a aF1( )+b bF2( ) d( )dF 同样同样, , 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, , 即即 - -1a aF1( )+b bF2( )=a af1(t)+b bf2(t) 4 Fourier变换的性