第二十二讲正弦定理和余弦定理1.
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1、第二十二讲正弦定理和余弦定理第二十二讲正弦定理和余弦定理回归课本回归课本1.正弦定理正弦定理(1)内容内容: =2R(其中其中R为为ABC外接圆的半外接圆的半径径).(2)正弦定理的几种常见变形正弦定理的几种常见变形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (其中其中R是是ABC外接圆半径外接圆半径)abcsinAsinBsinC,;222abcsinAsinBsinCRRRasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;a:b:c=sinA:sinB:sinC.2.余弦定理余弦定理(1)余弦定理的内容余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC,b2=
2、a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA. (2)余弦定理的变形余弦定理的变形222222222;2;2.2bcabcaccosAcosBcosbacabbCca (3)勾股定理是余弦定理的特殊情况勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令在余弦定理表达式中分别令A B C为为90,则上述关系式则上述关系式分别化为分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2. 3.解斜三角形的类型解斜三角形的类型在在ABC中中,已知已知a、b和和A时时,解的情况如下解的情况如下:4.测距离的应用测距离的应用5.测高的应用测高的应用6.仰角仰角 俯角俯角 方位角方
3、位角 视角视角(1)在视线和水平线所成的角中在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做视线在水平线上方的角叫做仰角仰角,在水平线下方的角叫做在水平线下方的角叫做俯角俯角,如下左图所示如下左图所示. (2)如上右图所示如上右图所示,P点的方向角为点的方向角为南偏东南偏东60.(3)由物体两端射出的两条光线由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做在眼球内交叉而成的角叫做视角视角.7.ABC的面积公式有的面积公式有22aa1(1)211(2)2h (ha);(r);2241(3)()21(pabc .4)()()()2SasinBsinCabcSabsinCR sinAsinBsi
4、nCasinARSr abcSp papbpc表示 边上的高为内切圆半径其中考点陪练考点陪练1.ABC,a,B60 ,A()A.135B.90C.45D.2,033b已知中那么角 等于232,.232:sin23,AaAB,A45 .absinAsinBsinAb解析 由正弦定理得可得又所以所以答案答案:C2. ABCa b c,a1,c4,B45 ,ABC2.4 3.5.2.()6 2ABCD的边分别为 且则的面积为ABC1122:S1 4si522n4.acsinB 解析答案答案:C2223.ABC,A B Cabc,acbtanBB3,.6352.6()633acABCD在中 角 的对边
5、分别为 、 、 若则角 的值为或或2222223,313.22:ac232,btanBBsinB(0, ).22B33acacbcosBcosBactanBsinB解析 由联想到余弦定理并代入得显然在内或答案答案:D4.在在ABC中中,角角A,B,C的对边为的对边为a,b,c,若若 B=45,则角则角A等于等于( )A.30B.30或或105C.60D.60或或1203,2,ab:sinAA),A,3.22(,.43.3ADabsinAsinBasinBb解析 由正弦定理得又或故选答案答案:D5.(2010湖南湖南)在在ABC中中,角角A,B,C所对的边长分别为所对的边长分别为a,b,c.若若
6、C=120, a,则则( )A.abB.abC.a=bD.a与与b的大小关系不能确定的大小关系不能确定解析解析:c2=a2+b2-2abcos120a2-b2-ab=0b= AC知知CB,则则C有两解有两解.2 3,AB ,ABACsinCsinB12 332.22ABsinBAC (1)当当C为锐角时为锐角时,C=60,A=90,由三角形面积公式得由三角形面积公式得:S= ABACsinA= 2sin90= .(2)当当C为钝角时为钝角时,C=120,A=30,由三角形面积公式得由三角形面积公式得:S= ABACsinA= ABC的面积为的面积为 或或1212 322 312112 323,
7、22 2 33.解法二解法二:由余弦定理得由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|BC|cosB,即即:4=12+|BC|2-2 |BC|BC|2-6|BC|+8=0,|BC|=2或或|BC|=4.(1)当当|BC|=2时时,S= |AB|BC|sinB(2)当当|BC|=4时时,S= |AB|BC|sinBABC的面积为的面积为 或或2 33,212112 323.2212112 342 3.222 33. 反思感悟反思感悟本题主要考查正弦定理本题主要考查正弦定理 三角形面积公式及分类三角形面积公式及分类讨论的数学思想讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推同时
8、也考查了三角函数的运算能力及推理能力理能力.类型二类型二判断三角形的形状判断三角形的形状解题准备解题准备:1.这类题型主要是利用正这类题型主要是利用正 余弦定理及其变形余弦定理及其变形,把题把题设条件中的边设条件中的边 角关系转化为角或边的简单关系角关系转化为角或边的简单关系,从而进从而进行判断行判断.2.判断三角形的形状的思路大致有两种判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角一是化边为角,以角为以角为着眼点着眼点,利用正利用正 余弦定理及变形余弦定理及变形,把已知条件转化为内角把已知条件转化为内角三角函数之间的关系三角函数之间的关系,走三角变形之路走三角变形之路;二是化角为边二是化角为
9、边,以边以边为着眼点为着眼点,利用正利用正 余弦定理及变形余弦定理及变形,把已知条件转化为边把已知条件转化为边的关系的关系,走代数变形之路走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时在运用这些方法对等式变形时,一一般两边不约去公因式般两边不约去公因式,应移项提公因式应移项提公因式,以免产生漏解以免产生漏解.【典例典例2】在在ABC中中,a、b、c分别表示三个内角分别表示三个内角A、B、C的的对边对边,如果如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2) sin(A+B),试判断该三角形试判断该三角形的形状的形状.分析分析利用正、余弦定理进行边角互化利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或
10、角转化为边边关系或角角关系角关系. 解解解法一解法一:由已知由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2) sin(A+B).得得a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即即sin2A sinAsinB=sin2B sinAsinB.0A,0B180,故故B=135不适合题意不适合题意,是个增解是个增解.这个增这个增解产生的根源是忽视了解产生的根源是忽视了ab这一条件这一条件,根据三角形的边角关根据三角形的边角关系系,角角
11、B应小于角应小于角A,故故B=135应舍去应舍去. 正解正解在在ABC中中,由正弦定理可得由正弦定理可得因为因为ab,所以所以AB,所以所以B=45.答案答案45评析评析已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角时求另一边的对角时,一定要一定要注意根据边角关系注意根据边角关系,确定适合题意的角是一个还是两个确定适合题意的角是一个还是两个.2602,26bsinAsinsinBa错源二错源二因忽视边角关系而致错因忽视边角关系而致错【典例典例2】在在ABC中中,tanA=a2,tanB=b2,那么那么ABC是是()A.锐角三角形锐角三角形B.直角三角形直角三角形C.等腰三角形
