2022年中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点05 解直角三角形的实际应用（解析版）
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1、回归教材重难点05 解直角三角形的实际应用解三角形的实际应用是初中直角三角形的边角关系章节的重点内容，其中主要在解直角三角形中考查的频率比较高。在中考数学中，主要是以实际应用的考法出现。通过熟练的掌握正弦、余弦、正切的意义，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度中等。1.锐角三角函数的定义：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边. 2.特殊角的三角函数值的计算3.解直角三角形的应用（坡度坡脚
2、问题）（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式（2）把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为：i=h/l=tan（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题1（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是
3、3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是试求大楼的高度第1页/共14页（参考数据：，）【答案】96米【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作ANBC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解【详解】延长交于点，过点作，交于点，由题意得，四边形为矩形，.在中，.在中，.答：大楼的高度约为96米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键第2页/共14页2（2021·四川内江·中考真题）在一次课外活动中
4、，某数学兴趣小组测量一棵树的高度如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高（结果保留根号）【答案】米【分析】作BFCD于点F，设DF=x米，在直角DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长【详解】解：作于点，设米，在中，则（米，且AE=8 在直角中，米，在直角中，米，即解得：，则米答：的高度是米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键第3页/共14页3（2021·
5、;甘肃兰州·中考真题）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，三点共线），在水平地面点测得，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度（结果精确到参考数据：，）【答案】【分析】根据，然后根据即可得出答案【详解】解：，即，解得：m，即，解得：m，m 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键4（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，小华遥控无人机从点A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A测
6、得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6米，且，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数参考数据：cos31°0.86， tan31°0.60， cos37°0.80， tan37°0.75）【答案】38米第4页/共14页【分析】过作于，易证，得，则，再由锐角三角函数求出，然后在中，由锐角三角函数定义求出的长即可【详解】解：过作于，如图所示：则，由题意得：，在中，在中，即无人机飞行的距离约是【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应
7、用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明是解题的关键5（2021·江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度（参考数据：sin28°0.47，cos28°0.8，tan28°0.53，sin40°0.64，cos40°0.77，tan40°0.84）【答案】68.5m第5页/共14页【分析】过A作AECD，垂足为E分别在RtAEC和RtAED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE
8、的长，然后相加即可【详解】解：如图，过A作AECD，垂足为E则AE50m，在RtAEC中，CEAEtan28°50×0.5326.5（m），在RtAED中，DEAEtan40°50×0.8442（m），CDCEDE26.54268.5（m）答：铁塔CD的高度约为68.5m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键6（2022·重庆·模拟预测）如图，重庆是著名的山城，为了测量坡度为的斜坡BC上的建筑物AB的高度，一个数学兴趣小组站在山脚点C处沿水平方向走了6米到达点D，再沿斜坡DF行走26米到达点
9、F，再向前走了20米到达一个比较好的测量点G，在G点测量得建筑物底部B的仰角为26.5°，建筑物顶部A的仰角为30°，已知斜坡DF的坡度为1：2.4，测量员的身高忽略不计，A，B，C，D，E，F，G，H在同一平面内，ABCD于点H，DEFG于点E(1)求点G到山脚C的水平距离；(2)求建筑物AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：sin26.5°0.45，cos26.5°0.89，tan26.5°0.50，）第6页/共14页【答案】(1)点G到山脚C的水平距离是50米；(2)建筑物AB的高度约是8.5米【分析】(1)连接BG，分别过点H、C作
10、HNEG于点N，CMEG于点M，根据坡比可得DE和EF的长度，再由MG=ME+EF+FG来求解；(2)根据坡度比，由的正切得出BH的长度，再根据的正切可得到AB的值【详解】(1)解：如图，连接BG，分别过点H、C作HNEG于点N，CMEG于点M，由题意可得，CD6米，DF26米，FG20米HNEG，CMEG，斜坡DF的坡度为1：2.4，DF26米，设DEx米，则EF2.4米，由勾股定理可得x2+（2.4x）2262，解得x10，DE10米，EF24米MECD6米，MGME+EF+FG6+24+2050（米），答：点G到山脚C的水平距离是50米；(2)解：HNEG，CMEG，HNCMDE10米，
