第11章弯曲应力

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1、第第1111章章 弯曲应力弯曲应力11-1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例1.弯曲：弯曲： 举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它的轴线自然也是一条水平直线

2、）。当我们把衣服挂上去的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这种形式的变形我们就称为弯曲变形。种形式的变形我们就称为弯曲变形。 再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的情况。情况。 2、定义：、定义： 当通过杆件轴线的纵向平面内作用一对等值、反当通过杆件轴线的纵向平面内作用一对等值、反向的力偶时，杆件的轴线由原来的直线变为曲线，这种形式向的力偶时，杆件的轴线由原来的直线变为曲线，这种形式的变形就称为弯曲。的变形就称为弯曲。3、梁：梁：以弯曲为主

3、要变形的杆件，我们通常称之为梁。以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。轴线是直线的称为轴线是直线的称为直梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁。有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称为，没有对称平面的梁称为非对非对 称梁称梁5、非对称弯曲、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。FqFAFB纵向对称面纵向对称面4、平面弯曲、平面弯曲（对称弯曲）（对称弯曲） 一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通一般情况下，工程中受

4、弯杆件的横截面都至少有一个通过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。变形，简称为平面弯曲。11-2 11-2 弯曲正应力弯曲正应力纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲常量常量MF0S)(0SxMMF0000FS

5、 xF F xMFa F alaF 横向线横向线( (a b、c d）变形）变形后仍为直线，但有转动；后仍为直线，但有转动；1 1、梁的纯弯曲实验、梁的纯弯曲实验纵向对称面纵向对称面bdacabcdMM 纵向线变为曲线，且上纵向线变为曲线，且上缩下伸；缩下伸； 横向线与纵向线变形后横向线与纵向线变形后仍正交。仍正交。横截面高度不变。横截面高度不变。11-2-1 11-2-1 实验现象的观察与分析实验现象的观察与分析2.2.平面假设：平面假设： 梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了

6、一然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度，这就是弯曲变形的平面假设。个角度，这就是弯曲变形的平面假设。 对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下的结论：的结论： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。向受拉或受压的状态。3.3.单向受力假设：单向受力假设：平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴的轴线仍保持正交，只是绕

7、垂直于纵对称轴的某一轴转动。转动。中性轴中性轴 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为为中性层中性层 。中性层中性层中性轴中性轴中性层与横截面的交线就是中性层与横截面的交线就是中性轴中性轴。中性层中性层中性轴中性轴Me Me 11-2-2 11-2-2 正应力公式的推导正应力公式的推导（一）几何方面（一）几何方面表面变形情况表面变形情况(1)纵线弯成弧线，靠近纵线弯成弧线，靠近顶面的纵线缩

8、短，而顶面的纵线缩短，而靠近底面的纵线则伸靠近底面的纵线则伸长；长；(2)横线仍为直线，并与横线仍为直线，并与变形后的纵线保持正变形后的纵线保持正交，只是横线间相对交，只是横线间相对转动。转动。mabmanbnMe Me mmnnaabbyOOBBABBB21111dd21xOOd)(yAB 中性层的曲率半径中性层的曲率半径CAByO1O2B1ddxMe Me mmnnaabb（二）物理方面（二）物理方面单轴应力状态下的胡克定律单轴应力状态下的胡克定律 不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当态。当 5)，上述公式，上述公式的误差不大，但此时公式中

9、的的误差不大，但此时公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即应为所研究截面上的弯矩，即：zIyxM)(目录目录 中性轴中性轴 z 为横截面的对称轴时为横截面的对称轴时zIMymaxmax称为称为弯曲截面系数弯曲截面系数maxyIMzzWMyzzybh中性轴中性轴 z 不是横截面的对称轴时不是横截面的对称轴时zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,Ozyyt，maxyc，max . .纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广横力弯曲时：横力弯曲时：1、由于切应力的、由于切应力的存在梁的横截面发存在梁的横截面发生翘曲生翘曲；2、横向力还使各、横向力还使各纵向线之间发生挤纵向线之间发生挤压压。

10、平面假设和纵向线平面假设和纵向线之间无挤压的假设之间无挤压的假设实际上都不再成立。实际上都不再成立。弹性力学的分析结果：弹性力学的分析结果：对于对于细长梁细长梁（ l/h 5 ），纯弯曲时的正应力计算），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。zIyxM)(zWxM)(maxFl4lF 1111-3-3常用截面的惯性矩、平行移常用截面的惯性矩、平行移轴公式轴公式 一、基本概念一、基本概念1. 1. 静矩（或一次矩）静矩（或一次矩）OxdAyyxCxydAx微面积对微面积对y轴的静矩轴的静矩dAy微面积对微面积对x轴的静矩轴的静矩AxS

11、AydAySAxd整个平面图形对整个平面图形对y轴的静矩轴的静矩整个平面图形对整个平面图形对x轴的静矩轴的静矩2.2.形心坐标公式形心坐标公式ASAAyyASAAxxxAyAd d常用单位：常用单位：m3 或mm3 。数数 值：值：可为正、负或 0 。3.3.静矩与形心坐标的关系静矩与形心坐标的关系yASxASxy 推论：截面对形心轴的静矩恒为推论：截面对形心轴的静矩恒为0 0，反之，亦然。，反之，亦然。1.1.组合截面的静矩组合截面的静矩 根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：它的各组成部分对同一