第九章板壳结构有限元
《第九章板壳结构有限元》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第九章板壳结构有限元（61页珍藏版）》请在文档大全上搜索。
1、板壳结构基本知识板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。板壳结构基本知识厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中，表面厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中，表面为平面的成为板，表面为曲面的称为壳。为平面的成为板，表面为曲面的称为壳。 平板：平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠板小挠度问题，它的变形完
2、全由横向变形确定；对于薄板大挠度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切变形的影响。变形的影响。壳体：壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当然，对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。然，对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。11111008085hb薄板基础理论知识薄板基础理论知识薄平板，取其中性面为坐标面，薄平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直于中性面。其
3、中轴垂直于中性面。其中 t 为为板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时，板的中性面将发板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时，板的中性面将发生弯扭变形，从而变成一个曲面。板变形的同时，在板的横生弯扭变形，从而变成一个曲面。板变形的同时，在板的横截面上将存在内力截面上将存在内力弯矩和扭矩。弯矩和扭矩。薄板基础理论知识薄板基础理论知识对于薄板问题采用如下假设：对于薄板问题采用如下假设：（1 1）直法线假设：薄板中面法线）直法线假设：薄板中面法线变形后仍保持为法线且长度不变。变形后仍保持为法线且长度不变。（2 2）忽略板中面的法线应力分量，）忽略板中面的法线应力分量，且不计其引起的应变。且不计其引起的应
4、变。（3 3）薄板中面内的各点没有平行）薄板中面内的各点没有平行于中面的位移，即中面不变形。于中面的位移，即中面不变形。由第（由第（2）条可知挠度）条可知挠度w与与z无关，无关，由第（由第（1）条可知）条可知 zx和和 yz等于零，另外根据第（等于零，另外根据第（3）条中面无变形）条中面无变形薄板基础理论知识薄板基础理论知识薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。根据几何方程，应变可表示为根据几何方程，应变可表示为对于薄板问题，对于薄板问题，一般采用形变分量表示一般采用形变分量表示x向曲率向曲率y向曲率向曲率扭率扭率薄板基础理论知识薄板基础理论知识相应的内力可表示为：相
5、应的内力可表示为：D为平面应力问题的弹性矩阵：为平面应力问题的弹性矩阵：薄板基础理论知识薄板基础理论知识图示为板的一个微元体。为方便计，取图示为板的一个微元体。为方便计，取x和和y的方向的宽度均为的方向的宽度均为1。在垂直于。在垂直于x轴的横截轴的横截面上的正应力面上的正应力x可合成为一个力偶，从而可合成为一个力偶，从而构成该横截面上的弯矩（单位宽度上的弯构成该横截面上的弯矩（单位宽度上的弯矩）矩）Mx。同理，在垂直于同理，在垂直于y轴的横截面上的正应力轴的横截面上的正应力y合成弯矩合成弯矩My，剪应力，剪应力xy合成扭矩合成扭矩Mxy，剪，剪应力应力yx合成扭矩合成扭矩Myx,由于剪应力互等
6、由于剪应力互等内力列向量为内力列向量为Mxy=Myx薄板基础理论知识薄板基础理论知识内力可以根据应力进行计算得到内力可以根据应力进行计算得到使用记号使用记号于是于是平面应力问题平面应力问题中的弹性矩阵中的弹性矩阵薄板基础理论知识薄板基础理论知识进行反向回代，可以得到进行反向回代，可以得到在板的上、下表面处，在板的上、下表面处，z=0.5t，于是应力为于是应力为薄板基础理论知识薄板基础理论知识假设发生虚位移假设发生虚位移 ， 则薄板内部会发生虚应变则薄板内部会发生虚应变如果薄板在如果薄板在z方向承受分布荷载方向承受分布荷载此时薄板内部产生应力此时薄板内部产生应力 与之平衡，与之平衡，则可以采用虚
7、功原理则可以采用虚功原理应力做的虚功为应力做的虚功为外力做的虚功为外力做的虚功为在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。薄板矩形单元薄板矩形单元设局部编号设局部编号1、2、3、4，x 、y方向长度分别为方向长度分别为2a、2b的矩形板单元如图所示。的矩形板单元如图所示。每个结点的位移分量为每个结点的位移分量为则一个单元的位移向量和载荷向量为则一个单元的位移向量和载荷向量为每个结点的载荷分量为每个结点的载荷分量为薄板矩形单元薄板矩形单元下面开始尝试建立形函数。下面开始尝试建立形函数。一个单元有一个单元有12个位移分量，那么个位移分量，那么位移函
8、数应该为位移函数应该为利用利用1212个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成，十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成，完成这项工作首先需要将其转化为一个完成这项工作首先需要将其转化为一个2 22 2的正方形，对于的正方形，对于矩形单元，这项操作并不困难。矩形单元，这项操作并不困难。四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率同阶次。四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率同阶次。薄板矩形单元薄板矩形单元下面开始尝试建立形函数。下面开始尝试建立形函数。建立的形函数形式如下：
9、建立的形函数形式如下：每个分块的每个分块的薄板矩形单元薄板矩形单元薄板矩形单元形函数的性质薄板矩形单元形函数的性质对对N1有有:N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4另外，另外，N1对对x，y的偏导数在各结点的偏导数在各结点处均为零。？处均为零。？于是，位移函数可表达为：于是，位移函数可表达为：薄板矩形单元薄板矩形单元薄板矩形单元应变离散薄板矩形单元应变离散薄板矩形单元薄板矩形单元薄板矩形单元应力离散薄板矩形单元应力离散那么，相应的，内力矩那么，相应的，内力矩薄板矩形单元薄板矩形单元薄板矩形单元的单元刚度矩阵，其形式也为通用的薄板矩形单元的单元刚度矩阵，其形式也为通用的展开进行积分展开
10、进行积分单元刚度矩阵由单元刚度矩阵由16个子矩阵组成，其表示如下个子矩阵组成，其表示如下薄板矩形单元薄板矩形单元具体的元素计算为：具体的元素计算为：式中：式中：薄板矩形单元薄板矩形单元结点载荷向量的计算：结点载荷向量的计算：积分展开，得积分展开，得假设板单元受横向均布载荷假设板单元受横向均布载荷p作用，则作用，则 等效结点力为等效结点力为如果承受的分布荷载随位置如果承受的分布荷载随位置（x,y）变化，积分工作量较大变化，积分工作量较大薄板矩形单元薄板矩形单元应用实例应用实例受中心集中力的四边支承板的计算结果受中心集中力的四边支承板的计算结果( (边长为边长为1 1，厚度为，厚度为0.010.0
11、1，弹模为，弹模为1 1，泊松比为，泊松比为0.3)0.3)单元数单元数（1/41/4板）板）四边固定四边固定板中心挠度板中心挠度wD/PLwD/PL2 2边中点弯矩边中点弯矩M/PM/P2 22 20.006140.00614-0.1178-0.11784 44 40.005800.00580-0.1233-0.12336 66 60.005710.00571-0.1245-0.1245理论解理论解0.005600.00560-0.1257-0.1257薄板三角形单元薄板三角形单元三角形单元能较好地适应斜边界，实三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应用。单元的结点位移仍然际中广泛应用。单
