计算机图形学第6章习题

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1、计算机图形学基础华东理工大学计算机系华东理工大学计算机系 谢晓玲谢晓玲习题习题6.2/P182o6.2 6.2 已知二维变换矩阵已知二维变换矩阵T T2D2D= = a b pa b p c d q c d q l m s l m s试说明矩阵试说明矩阵T T2D2D中各元素在变换中的具体作用。中各元素在变换中的具体作用。答：缩放：答：缩放：a,da,d 平移：平移：l,ml,m 旋转：旋转：a,b,c,da,b,c,d 透视：透视：p,qp,q 全局缩放：全局缩放：s s 错切：错切：b,cb,c习题习题6.3/P182o6.3 6.3 试推导将二维平面上任意直线段试推导将二维平面上任意直线

2、段p p1 1(x(x1 1,y,y1 1) p) p2 2(x(x2 2,y,y2 2) )转换成为与转换成为与x x轴重合的变换矩阵（直线段轴重合的变换矩阵（直线段p1p2p1p2与与x x轴的交角轴的交角4545）。）。答：答：sin()=(ysin()=(y2 2-y-y1 1)/sqrt(x)/sqrt(x2 2-x-x1 1) )2 2+(y+(y2 2-y-y1 1) )2 2) ) cos()=(x cos()=(x2 2-x-x1 1)/sqrt(x)/sqrt(x2 2-x-x1 1) )2 2+(y+(y2 2-y-y1 1) )2 2) )平移平移T T1 1(-x(-

3、x1 1,-y,-y1 1)= 1 0 0)= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 -x -x1 1 -y -y1 1 1 1旋转旋转R R1 1(-)= cos -sin 0(-)= cos -sin 0 sin cos 0 sin cos 0 0 0 1 0 0 1T=TT=T1 1(-x(-x1 1,-y,-y1 1)R)R1 1(-)(-)(x1,y1)(x2,y2)习题习题6.4/P182o6.4 6.4 已知点已知点P(xP(xp p,y,yp p) )及其直线及其直线L L的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0，试推导一个相对试推导一个相对L L作对称变换的变换矩阵作对

4、称变换的变换矩阵T T，使点，使点P P的的对称点对称点PP满足满足P=PTP=PT。答：设：答：设：k= -A/Bk= -A/B，b= -C/Bb= -C/B sin()= -A/sqrt(A sin()= -A/sqrt(A2 2+B+B2 2) ) cos()= -B/sqrt(Acos()= -B/sqrt(A2 2+B+B2 2) )平移平移T T1 1(0,-b)= 1 0 0(0,-b)= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 -b 1 0 -b 1(0,-C/B)(-C/A,0)习题习题6.4/P182旋转旋转R R1 1(-)= cos -sin 0(-)= cos -si

5、n 0 sin cos 0 sin cos 00 0 10 0 1关于关于x x轴对称轴对称RFRFx x= 1 0 0= 1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 1反旋转反旋转R R2 2()= cos sin 0()= cos sin 0 -sin cos 0 -sin cos 0 0 0 1 0 0 1(0,-C/B)(-C/A,0)习题习题6.4/P182反平移反平移T T2 2(0,b)= 1 0 0(0,b)= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 b 1 0 b 1T=TT=T1 1(0,-b)R(0,-b)R1 1(-)RF(-)RFx xR R2 2()

6、T()T2 2(0,b)(0,b)习题习题6.6/P183o6.6 6.6 试证明相对于原点的旋转变换可以等价为一试证明相对于原点的旋转变换可以等价为一个比例变换和一个错切变换的复合变换。个比例变换和一个错切变换的复合变换。 cos sin 0 scos sin 0 sx x 0 0 1 b 0 s 0 0 1 b 0 sx x bs bsx x 0 0-sin cos 0 = 0 s-sin cos 0 = 0 sy y 0 c 1 0 = cs 0 c 1 0 = csy y s sy y 0 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 1s

7、 sx x=cos=cos，s sy y=sin=sin，bs bsx x=sin=sin，cs csy y= -sin= -sinb=sin/ cos=tg b=sin/ cos=tg ，c= -sin/ cos= -tg c= -sin/ cos= -tg cos sin 0 cos 0 0 1 tg 0 cos sin 0 cos 0 0 1 tg 0 -sin cos 0 = 0 sin 0 - tg 1 0 -sin cos 0 = 0 sin 0 - tg 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 习题习题6.7/P183o6.7 6.7 如图

8、所示四边形如图所示四边形ABCDABCD，求绕点，求绕点P(5,4)P(5,4)分别旋转分别旋转4545和和9090的变换矩阵，并求出各端点的坐标，画出的变换矩阵，并求出各端点的坐标，画出变换后的图形。变换后的图形。9090T= 0 1 0T= 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 9 -1 1 9 -1 14 1 1 0 1 0 8 3 14 1 1 0 1 0 8 3 17 3 1 7 3 1 -1 0 0 = 6 6 -1 0 0 = 6 6 1 17 7 1 9 -1 17 7 1 9 -1 1 2 6 1 2 6 11 4 11 4 1 5 0 1 5 0 1A(8,3),B(6,

9、6),C(2,6),D(5,0)A(8,3),B(6,6),C(2,6),D(5,0)A(4,1)B(7,3)C(7,7)D(1,4)A(8,3)B(6,6)C(2,6)D(5,0)4545T=T(-5,-4)R(45T=T(-5,-4)R(45)T(5,4)T(5,4) = = 2/22/2 2/22/2 0 0 - -2/22/2 2/22/2 0 0 5- 5-2/2 4-2/22/2 4-2/2 1 14 1 1 5+4 1 1 5+22 4-2 4-22 2 1 17 3 1 7 3 1 T = 5+3T = 5+32/22/2 4+ 4+2/2 2/2 1 1 7 7 1 7 7