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1、13-3 静定平面刚架 刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。(a)(b)(c)(d)(e) 下图是常见的几种刚架：图（下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，）是多层多跨房屋，图（图（c）是具有部分铰结点的刚架。）是具有部分铰结点的刚架。刚架结构优点：刚架结构优点：（1）内部有效使用空间大；）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好
2、、刚度大；）结构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理。）内力分布均匀，受力合理。一、平面刚架结构特点：一、平面刚架结构特点：21 1、悬臂刚架、悬臂刚架2、简支刚架、简支刚架3、三铰刚架、三铰刚架4、主从刚架（有附属部分）、主从刚架（有附属部分）二、常见的静定刚架类型二、常见的静定刚架类型3 下图所示两跨刚架可先建立投影方程 计算Fyc,再对Fyc和FxB 的交点O取矩，建立力矩方程 ，计算FxA，最后建立投影方程 计算FxB 。 Y = 0M O= 0X =0 xy0ABCO. 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面
3、的内力，然后再绘制各杆的弯矩图等内力图。截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图等内力图。三三 静定刚架支座反力的计算静定刚架支座反力的计算 在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。FycFxBFxA4如如图三铰刚架，具有四个支座反力，整体平衡条件有三个图三铰刚架，具有四个支座反力，整体平衡条件有三个FXA=MB00=AM0= Xl /2l /2qABCf(a)qfl /2l /2ABC(b)FYAFYBFXB利用中间铰结点利用中间铰结点C C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座
4、反力。方程就可以求出这四个支座反力。,YAfFlqf = = 02YAqfFl= = 22,YBfFlqf = = 02YBqfFl= =22,XAXBFqfF = = 0XAXBFFqf=5FXAqfl /2l /2ABC(b)FYAFYBFXBfl /2C(c)FYBFXBBXCYC0=CM于是O特殊条件，可对特殊条件，可对O点取矩得：点取矩得：= 0OMXAXBFFqf=XBYBlFfF= 02XBqfF= =4XAqfF= = 34XAqfF= = 34XAfFfqf = =32026l /2l /2qABCfOABDCqOO注意：注意： 三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键
5、三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。所在。通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。复杂程度和难度。7FXCFXCFYCFXDFYBFYAFXAQCABqFYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c) 如右图如右图(a)是一个多是一个多跨刚架，具有四个支座跨刚架，具有四个支座反力，根据几何组成分反力，根据几何组成分析：以右是基本部分
6、、析：以右是基本部分、以左是附属部分，分析以左是附属部分，分析顺序应从附属部分到基顺序应从附属部分到基本部分。本部分。本题可先由（b）计算FXD，再由整体计算其它支反力。8四四 刚架的杆端内力分析及内力图的绘制刚架的杆端内力分析及内力图的绘制5 5、刚架的内力的正负号规定同梁。各内力图均以杆轴为基线，、刚架的内力的正负号规定同梁。各内力图均以杆轴为基线，垂直杆轴画出。弯矩不规定正负，但规定弯矩竖标画在受拉侧；垂直杆轴画出。弯矩不规定正负，但规定弯矩竖标画在受拉侧；在同一杆上的轴力或剪力图，若异号分画在杆轴两侧，若同号在同一杆上的轴力或剪力图，若异号分画在杆轴两侧，若同号则在杆轴任一侧，但须在图
7、中注明正负号。则在杆轴任一侧，但须在图中注明正负号。1、刚架杆件的截面内力有弯矩、剪力、轴向力，以弯矩为主。、刚架杆件的截面内力有弯矩、剪力、轴向力，以弯矩为主。2、杆件内力与载荷的关系与梁相同，所以，计算杆端内力后，、杆件内力与载荷的关系与梁相同，所以，计算杆端内力后，可画出内力图。可画出内力图。3、杆端内力，用截面法，选取合理的隔离体，用平衡条件计算。、杆端内力，用截面法，选取合理的隔离体，用平衡条件计算。4、杆端内力表示，用杆件近、远端的标志作为下标以示区别。、杆端内力表示，用杆件近、远端的标志作为下标以示区别。FQDCFNDCMDCFQCDFNCDMCDFQDAMDAFNDCFNDAF
8、QDCMDC9刚架的内力计算和内力图制作刚架的内力计算和内力图制作 例例4m2m2mM=30kNm(a) (b) （1）计算支座反力：）计算支座反力：,XF = = 0AXFKN= = 20,AM= = 0.BYFKN= = 2 5BYF = =20230104240AXFBYFAYFAxM=30kNmFByFM=30kNmFAy10.NDAAyFFkN= = = = 2 5kNFFFAxPQDA40=mkNFFMAxPDA=12042（左侧受拉）（左侧受拉）F=20kNAxF =2.5kNAyFNDAFQDAMDA（2 2）杆端力计算杆端力计算 取隔离体暴露杆端力取隔离体暴露杆端力 FQDA
9、M=30kNmMDAFNDCFNDAFQDCMDCkNFFQDANDC40=2.5QDCNDAFFkN= =mkNMMMDADC=90（上侧受拉）（上侧受拉） 11.NCBByFFkN= = = 2 5kNqFQCB404 =mkNqMCB=8024（右侧受拉）（右侧受拉） F=2.5kNByFQCBFNCBMCBFQCDFNCDMCDFQCBFNCBMCBkNFFQCBNCD40=2.5QCDNCBFFkN=mkNMMCBCD=80（上侧受拉）（上侧受拉） FQDCFNDCMDCFQCDFNCDMCD12（3 3）内力图的制作）内力图的制作 (a)(a)M图图(kNm) 402.54020(
10、b)FQ图(kN) 204020 (c)FN图(kN) 校核：当刚结点仅连接两个校核：当刚结点仅连接两个杆端，且无力矩作用在结点杆端，且无力矩作用在结点上时，该两杆端的弯矩值相上时，该两杆端的弯矩值相同，受拉侧一致（弯矩方向同，受拉侧一致（弯矩方向相反）相反）90120208040138kN1m 2m4mABCD6kNQDCNDCMDC8kNQDANDAMDA8kN6kN6kNQDC=6kN NDC=0MDC=24kN.m（下拉） QDB=8kNNDB=6kNMDB=16kN.m（右拉）QDA=8kNNDA=0MDC=8kN.m（左拉）QDBNDBMDB8kN6kNDB结点平衡14QDC=6k
11、N NDC=0MDC=24kN.m（下拉） QDB=8kNNDB=6kNMDB=16kN.m（右拉）QDA=8kNNDA=0MDC=8kN.m（左拉）08kN8kN.m6kN024kN.m 8kN 6kN16kN.mX = 88 = 0Y = 6（6） = 0M = 248 16 = 0！D156m2m2m24kNm25.5kNm24kNm画下列刚架的弯矩图。画下列刚架的弯矩图。水平支座链杆的约束力可简便求出。余下的两个支座约束力水平支座链杆的约束力可简便求出。余下的两个支座约束力不必求出，即可画出结构的弯矩图。不必求出，即可画出结构的弯矩图。刚架弯矩图做法刚架弯矩图做法: :拆成单个杆拆成单
12、个杆, ,求出杆两端的弯矩求出杆两端的弯矩, ,按与单跨梁相同的叠加法画弯矩图按与单跨梁相同的叠加法画弯矩图. .16例题例题1: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图2/Pll2/ lP2/ l2/Pl2/PllllPP练习练习: 作弯矩图作弯矩图PllPlPlPl217练习练习: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图PllPllllPll2/ l2/ llP18练习练习: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图例题例题2: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图lllP2/Pl4/Pl4/3Pl4/3Pl4/Pl2/PlPll 2ll 2P2/Pl2/PlPl0Pl19练习练习: 作图示结构弯矩图作图示结构弯
13、矩图例题例题3: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图ql2/2ql2/qlllqqll2/ lq2/ llllqq20练习练习: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图llqlllq4/5ql4/5ql4/52ql4/52ql2ql2/32qlqll2/ lq2/ lql21例四例四: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图0PPlM 4/llM2/M4/M2/M4/3MllPlPll2qllqlql2/2qlql222练习练习: 试找出图示结构弯矩图的错误试找出图示结构弯矩图的错误23练习练习: 试找出图示结构弯矩图的错误试找出图示结构弯矩图的错误24内力图形状特征1.无何载区段 2.均布荷载区段3.集中
14、力作用处平行轴线斜直线 Q=0区段M图 平行于轴线Q图 M图备注二次抛物线凸向即q指向Q=0处，M达到极值发生突变P出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义4.集中力偶作用处无变化 发生突变两直线平行m集中力偶作用点弯矩无定义5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。25作业：作业：3-11、3-12在课本上做在课本上做 3-13a26计算图示静定刚架，并作内力图。计算图示静定刚架，并作内力图。 4m1.5m1
15、.5mFAyFByFBx1)1)求支座反力求支座反力 kNFFPBx2=（） kNFqFPBy75. 8)5 . 124(41=() 25. 7)5 . 124(41=PAyFqF() 取上部结构整体的平衡条件取上部结构整体的平衡条件2)计算内力计算内力.CAMKNm=2 1 53（左侧受拉）（左侧受拉）3）作弯矩图）作弯矩图274m1.5m1.5m.CAMKNm=2 1 53（左侧受拉）（左侧受拉）q4/2ql4/2qlxqABl2/ql2/qlxA)(xMx2/ql)(2122)(xlqxxqxxqlxM=8/2ql8/2ql28从弯矩图中将CB杆两端切断取出画受力图， 由弯矩图作剪力图方
16、法：由弯矩图作剪力图方法：取所考虑的杆件为隔离取所考虑的杆件为隔离体，分别由其两端点为体，分别由其两端点为矩心的力矩平衡方程求矩心的力矩平衡方程求两杆端剪力，然后作该两杆端剪力，然后作该杆的剪力图。如杆的剪力图。如当结构的弯矩图求出后，通过弯矩图作剪力图相对比较容易。当剪力图求出后，可通过剪力作轴力图。FQBCMCBFQCBFNBCFNCB,CM= = 0QBCF = =544230.QBCFKN= = 5 829FNCAFQCAFNCBFQCB由剪力图作轴力图方法：取结点为隔离体，由结点的投影平衡方程计算它所连的杆端的轴力。当杆件两端的轴力均求出后，可作该杆的轴力图。FByFBxFNBCFQ
17、BC,XF = = 0NCBQCBQCAFFF = =43055.NCBFKN= = 2 75,XF = = 0NBCQBCBXFFF = =43055.NBCFKN= = 6 8530 剪力图和轴力图：剪力图和轴力图： F FQ Q图图(kN)(kN) F FN N图图(kN)(kN) 311 反力计算 1） 整体对左底铰建立矩平衡方程 MA= qa2+2qa2-2aYB=0 (1) 2） 对中间铰C建立矩平衡方程 MC=0.5qa2+2aXB -aYB=0 (2)解方程(1)和(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa 3） 再由整体平衡 X=0 解得 XA=-0.5qa Y=0 解得
18、 YA=0.5qa2 绘制弯矩图qa20qqaXAYAYBXBACBaaaaqa/2qa/23、三铰刚架弯矩图、三铰刚架弯矩图qa212qa21232例 试绘制下图所示刚架的弯矩图。30kN20kNm2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE10kN10kN40kNmADBE10kN20kN40kNmD204020=DCME4040=ECMDCE20kNm40kNm402040M图（kNm）336QDCQ CDDC3.35m3kN9kN2kN2kN664.5N图（kN）M图（kN.m）2 33m3m 3mABq=4kN/m1.5mCDEmllECDC35. 352cos51sin=
19、2 1.79 Q图（kN）MD=6QCD3.350QCD=1.79(kN)=QDCMC=6+3 41.5+3.35QEC0QEC= 7.16kNME=6 3 4 1.5+3.35QCE0QCE= 3.58kNQCEQ EC4kN/mCE3.35m3.58 7.16 9321.79NDCkNNNXDCDC13. 302sin79. 1cos=3.13927.16NECkNNNXECEC82. 505116. 7522=5.8205279. 1558. 3=45. 0=kNNCE0sin)79. 158. 3(cos)13. 3(=NXCEcos)58. 379. 1 (sin)45. 013.
20、3(=Y校核NCE3.583.131.790.4534. .由做出的弯矩图作剪力图由做出的弯矩图作剪力图Pa2aaaP/4P/42/Pa2/Pa2/PaPaMP/44/PP2/PQPll 2ll 2PlPlPl练习练习: :作剪力图作剪力图M2/PPQ2/P35ll2qlqlq例例: :作剪力图作剪力图M2/PqlQQABBA= , 0Q2/2ql2ql2/32qlqlAB2ql2/32qlABQBAQABql0=BAQqlqlQAB=ql36N2/3P2/P4/P. .由做出的剪力图作轴力图由做出的剪力图作轴力图Pa2aaaP/4P/42/Pa2/Pa2/PaPaM2/PP/44/PPQAB
21、A2/P4/PB2/P4/P4/P2/P37Pll 2ll 2PlPlPl练习练习: :作轴力图作轴力图2/PPQM2/PAB2/PPA2/PPBP2/PP2/P2/PNP38AaaaaaaqBYB=0YA=0XB=1.5qa4.5qa2 5qa2M图 haP2P2Paa2aPh2Ph2PhPhPhPh2Ph整体：MA03qaa/2XBa0XB=1.5qaXA=4.5qa39qaaaa1.5aqa2qaAEGCBFDqa2qaAEGCXMqa1.5aBFD例. 求绘图示结构的弯矩图。2qa22qa2qa2qaM =qaqa6 . 0qa6 . 026 . 0 qa2qa25 . 1 qa29
22、. 0 qa22qa2qa2qa25 . 1 qa26 . 0 qa29 . 0 qa40q P ABCDE（a）q P ABCDE（b）ABC（e）ABC（f）判断对错并修正M图41ABCDABCDmm（h）mBAC（g）mm42（3）（ ）（5）（ ）（2）（ ）（4）（ ）（1）（ ）（6）（ ）43（9）（ ）题2-1图（10）（ ）（11）（ ）（12）（ ）（7）（ ）（8）（ ） m m44刚架上只有一个水平支座链杆，在仅有竖向荷载时，刚架上只有一个水平支座链杆，在仅有竖向荷载时，该支座反力为零。所以该支座反力为零。所以ACAC段上弯矩应为零。段上弯矩应为零。结点结点D D两侧截
23、面弯矩明显不平衡；过结点两侧截面弯矩明显不平衡；过结点E E两侧弯矩两侧弯矩直线应在一条直线上。直线应在一条直线上。45作业：强调作业：强调3-2、3-11、3-12 3-14c，3-1746静定刚架的静定刚架的 M 图正误判别图正误判别利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。制内力图时减少错误，提高效率。另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M 图的轮廓是否正确。图的轮廓是否正确。M图与荷载情况不符。M图与结点性质、约束情况不符。作用在结点上的各杆端弯矩
24、及结点集中力偶不满足平衡条件。47对称性的利用对称性的利用对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布；对称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布。hl/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/848YBXBRAOM/2MM/2画三铰刚架弯矩图画三铰刚架弯矩图注意：注意：1 1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线， 对对O O点取矩可求出点取矩可求出B B点水平反力，由点水平反力，由B B支座开始做弯矩图。支座开始做弯矩图。 2 2、集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后弯矩两条线平行。、集中力
25、偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后弯矩两条线平行。 3 3、三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！、三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！ Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/2aACBaaaMABC49弯矩图PaPaaalPaP P PPaPa2m/3m/3m/32m/3aaammqa2/250mPaaaaaaaamaaaamP2PaaammPa/2Pa/20 0 0m/2am/2am/2am/2am/2am/2am/2m/2m/2mOm/2am/2am/2am/2am/2am/2mm/20 0 02P2P2PP P PPa2PaPa51Paaaa aaPPmaaaaPPPh0
26、 0 0 0P P P PPaPa2PaPaPaPhPhPhPhPh52 例例1. 试计算图试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制所示简支刚架的支座反力，并绘制、Q和和N图。图。2m2m4mABCD40 kN20 kN/m(1)支座反力支座反力80=AH20=AV60=BV(a)20 kN/mAB4m2080BAQBAN20 kN/mAB4mBAM160 kNm(b)(c)解解,80kNHA=,20kNVA=kNVB60=。(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。求杆端力并画杆单元弯矩图。00804200=BABAQQXkNNNYBABA200200=mkNMMMBABAB=1600480242
27、0040160AB(d)M图图532m2m40kNBD60BDQBDNBDM2m2mBD40kN160kNm16040BD00=BDNXkNQYBD200=mkNMMBDD=160040160AB160D4020kN/mAB4m2080BAQBANBAM802060Q图（图（kN)M图图 (kNm）M图图2m2m4mABCD40kN20kN/m60208054802060Q图（图（kN)200BDNBANB20N图（图（kN)40160AB160D40M 图图 (kNm）55 例2. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制、Q和N图。2a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDE解：（
28、1）计算支座反力AXAYAM0420=AXaqxqaXA8=0460=aqqaYyAqaYA10=02422624202=AAMaaqaqaaaqqam214qaMA=562a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDE（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图1）杆CDDCQDCNDCM2qa2CD0=DCQ0=DCN22qaMDC=6qaDB0022qaDDBQDBNDBM0=DBN0=DBQ22qaMDB=210qaMBD=22qaBDQBDNBDM结点D2）杆DB2qa2M图qaQBD6=0=BDN22qa210qa26qaM图572a 2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDEx
29、yBEQBENBEM3aE4aqB0=x0sin4=aqNBEqaqaNBE4 . 2534=0= y0cos4=aqQBEqaqaQBE2 . 3544=0=Bm024=aaqMBE28qaMBE=3)杆BE2qaAB28qa8qa10qa14qa2BANBAQBAMqaNBA10=0=BAQ22qaMBA=214qa24qa22qaM图图M图图4）杆AB58214qa24qa22qa22qa210qa26qa2qa228qa2qa228qa22qa210qa214qa24qa6qa2qa2q 2q2qa2CD22qa210qa26qaDB28qaBE214qa24qa22qaBA1082B
30、M图（3）绘制结构M图也可直接从悬臂端开始计算杆件弯矩图59M图214qa24qa22qa22qa210qa26qa2qa228qa2a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDEQ 图2.4qa10qaN 图3.2qa6qa8qa（4）绘制结构Q图和N图0=DCQ0=DCN0=DBN0=DBQqaQBD6=0=BDNqaNBE4 . 2=qaQBE2 . 3=qaNBA10=0=BAQ)(8= qaXA)(10=qaYA60作刚架作刚架Q Q、N N图的另一种方法图的另一种方法 首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆端
31、剪力求杆端轴力。aaqABCqa2/2qa2/8M图qa2/2QCBQCBCBqa2/2MCqa2/2+ QCBa=0 QBC=QCB=qa/2QCAQACqa2/2qMCqa2/2+ qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qaMA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2 ）/a =0qa/20NCBNCAX0，NCB 0Y0，NCAqa/2611、悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。LLqLqLqqL2q2m2mq2q6q二、弯矩图的绘制 如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，只需求出与杆轴线垂直的反力。622、简支型刚架弯矩图简支型
32、刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。qL2/2qaqa2/2qa2/2ql注意：BC杆和CD杆的剪力等于零，相应的弯矩图与轴线平行ql2/2qlqll/2l/2DqABCaaaqa2/863q=20kN/m2m2m3m4m2m5m绘制图示刚架的 弯矩图ABCDEF20kN80kN20kN120901206018062.5M图kM.m 仅绘M图,并不需要求出全部反力. 然后先由A.B支座开始作弯矩图.先由AD Y=0 得 YA=80kN再由整体平衡方程 X=0 得 XB=20kNMEA=806-206=1201206018064qaaaa2aaaaqqaqaqqaqa2qa2qa2/2qa2/2qa2/2M图（kN.m）ABHCDEFG4、主从结构绘制弯矩图、主从结构绘制弯矩图 可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。求或只求部分约束力。
