电磁场与电磁波(第1章矢量分析2016.3.)电磁场与电磁波教案姚毅老师版.

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1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 场的概念和场的概念和矢量基本运算矢量基本运算1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度1.5 矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.2 三种常用的坐标系三种常用的坐标系1.1 1.1 场的概念和矢量基本运算场的概念和矢量基本运算 1 1、场的定义：场的定义： 一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物理量在该区域的一种分布。如果被描述的一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物理量在该区域的一种分布。如果被描述的物理量是标量，则定义的场被称为标量场；如果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称

2、为矢物理量是标量，则定义的场被称为标量场；如果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为矢量场。量场。 2、 特征：区域性、物理系统、分布特征：区域性、物理系统、分布 3、 场的分类：场的分类： 标量场与矢量场标量场与矢量场 静态场与时变场静态场与时变场 标量场标量场 ：描述描述 物理系统中在该区域的物理量为一标量。物理系统中在该区域的物理量为一标量。 矢矢量场量场 ：描述描述 物理系统中在该区域的物理量为一矢量。物理系统中在该区域的物理量为一矢量。 静态场：描述静态场：描述 物理系统中的物理量在该区域不随时间变化。物理系统中的物理量在该区域不随时间变化。 时变场：描述时变场：描述 物理系统中的物

3、理量在该区域随时间变化。物理系统中的物理量在该区域随时间变化。 4、 场的描述：场的描述方法有多种：列表法、函数法等，场的描述：场的描述方法有多种：列表法、函数法等， 场场 函函 数：数： 描述场在空间中分布的函数称为描述场在空间中分布的函数称为场函数场函数 5、场的值或场量：、场的值或场量：物理量在场空间中一点的取值物理量在场空间中一点的取值 ),(),(tzyxFtzyx矢量场：标量场：),(),F),(),(tzyxFzyxtzyxzyx时变矢量场：（静态矢量场：时变场：静态场： 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个标量分布，标量分布，如温度如温度,电位电位,高度等，可以用一个标量函

4、高度等，可以用一个标量函数来描述，数来描述，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。例：标量场例：标量场2225( , , ) (1)(2)xyzux y zxyz 例：矢量场例：矢量场 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个矢量分布，矢量分布，如速度场如速度场,电场、磁场等，可用一个矢量函电场、磁场等，可用一个矢量函数来描述数来描述, ,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。)2() 1(5),(22zyxxyzttzyxuyzaxyaxazyxAzyx),(3

5、2),(yztaxytaxtatzyxAzyx6 6、矢量基本运算、矢量基本运算 （1 1）矢量加法矢量加法 两矢量相加就是两矢量几何求和，服从平行四边形法则。如矢两矢量相加就是两矢量几何求和，服从平行四边形法则。如矢量量+ +，分别将矢量和矢量作为平行四边形的两条边，对角线矢量就是，分别将矢量和矢量作为平行四边形的两条边，对角线矢量就是矢量和矢量的和矢量，矢量和矢量的和矢量， 矢量加法的交换律矢量加法的交换律 矢量加法的结合律矢量加法的结合律 BACABBACBACBA)()(（2 2）矢量减法）矢量减法 矢量的减法可以转换为矢量的加法进行运算。由于负矢量与矢量有相矢量的减法可以转换为矢量的

6、加法进行运算。由于负矢量与矢量有相同的模和相反的方向，于是同的模和相反的方向，于是)( baba（3 3）1.2 三种常用正交坐标系三种常用正交坐标系zzyyxxAaAaAaA000 xyzFe xe ye zzayaxarzyx 直角坐标系直角坐标系坐标变变化范围是坐标变变化范围是: : 右手螺旋法则右手螺旋法则 位置矢量位置矢量: :矢量表示：矢量表示：微分线元：微分线元：度量系数：度量系数：面积元：面积元： 体积元：体积元： xyzdzadyadxaRdzyxdydzdSxdxdzdSydxdydSzdxdydzdzyxaaa111zyx圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变变化范围是坐标变变化范围

7、是:右手螺旋法则：右手螺旋法则：位置矢量：位置矢量：矢量表示：矢量表示：微分线元：微分线元：度量系数：度量系数：面积元：面积元： 体积元：体积元：11zrr r020zzraaazaraRzrzzrrAaAaAaAdzardadraRdzrrdrddldldSdrdzdldldSdzrddldldSrzzrzrdzrdrddraaza00rr ),(000zrP点处沿方向的长度元分别是：点处沿方向的长度元分别是：度量系数分别是：度量系数分别是： radzdlrddldrdlzr11zrrazarrdrdrd球面坐标系球面坐标系坐标变变化范围是坐标变变化范围是:右手螺旋法则：右手螺旋法则：位置矢

8、量：位置矢量：矢量表示：矢量表示：微分线元：微分线元：坐标线元：坐标线元：度量系数：度量系数：面积元：面积元： 体积元：体积元：ra2000 raaarraRrAaAaAaArrdrardadraRdrsindrdlrddldrdlrsinsin1rhrhhrrdrddldldSdrdrdldldSddrdldldSrrrsinsin2ddrdrdldldldrsin2araa0raaa作业：习题作业：习题1.31.3，习题，习题1.41.4，习题，习题1.91.9，习题，习题1.111.11，习题，习题1.12 1.12 drsind1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度,uxyzc一、等

9、值面或等位面一、等值面或等位面：标量场中值相等的点构成的面：标量场中值相等的点构成的面。二、方向性导数和梯度：描述标量场中各点场量的变化规律二、方向性导数和梯度：描述标量场中各点场量的变化规律00limlimuuuuuuuPMPMl uPNleMuu ne为标量场为标量场 在在P点沿点沿 方向的方向的方向方向性导数。性导数。其大小与方向其大小与方向 有关有关。, , ,u x y z 定义标量函数定义标量函数 在点在点P沿给定方向沿给定方向 的变化率的变化率。le( , , )u x y z等值面互不相交，完全填充标量场的全部空间等值面互不相交，完全填充标量场的全部空间grad uuP0Plu

10、 udzzudyyudxxuPuPudu)()(0coscoscoszuyuxulu其中，其中，cos, cos, coscos, cos, cos为为l l方向的方向余弦方向的方向余弦。 nalalala标量场的等值面 100200300400, ,u x y zc梯度梯度 方向导数为我们解决了函数方向导数为我们解决了函数u u( (P P) )在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点中的给定点P P出发，标量场出发，标量场u u在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，必定在某个方

11、向上变化率为最大。为此，定义一个矢量可以设想，必定在某个方向上变化率为最大。为此，定义一个矢量G G，其方向为，其方向为是函数是函数u u在点在点P P处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，标量场标量场 在在P点的梯度是一个矢量点的梯度是一个矢量, , ,u x y z大小：最大方向性导数大小：最大方向性导数方向：最大方向性导数所在的方向方向：最大方向性导数所在的方向由方向性导数的定义可知：沿等值面法线由方向性导数的定义可知：沿等值面法线 的方向性导数最大的方向性导数最大。zayaxazyx标量场的梯度可定义为：标量场的梯度可定