线性代数数学建模案例

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1、线性代数数学建模案例网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时中的流量问题时,线性方程组就自然产生了线性方程组就自然产生了,例如例如,城市城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量通流量,电气工程师计算电路中流经的电流电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生

2、产者到消费者分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程百甚至上千未知量和线性方程。 一一 一个网络由一个点集以及连接部分或全部一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成。点的直线或弧线构成。 网络中的点称作联结点网络中的点称作联结点(或节点或节点)，网络中的连接线称作分支，网络中的连接线称作分支. 每一分支每一分支中的流量方向已经指定，并且流量中的流量方向已经指定，并且流量(或流速或流速)已已知或者已标为变量。知或者已标为变量。(a)601x2x803x4x5x

3、(b) 网络流的网络流的基本假设基本假设是（是（1）网络中流入与流）网络中流入与流出的总量相等；（出的总量相等；（2）每个节点上流入和流出）每个节点上流入和流出的总量也相等。例如，上面两图（的总量也相等。例如，上面两图（a）、（）、（b）。）。 流量在每个节点守恒。流量在每个节点守恒。 在类似的网络模式中，在类似的网络模式中，每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。网络分析要解决的网络分析要解决的问题问题是：在部分信息是：在部分信息(如如网络的输入量网络的输入量)已知的情况下，确定每一分支中已知的情况下，确定每一分支中的流量。的流量。 城市道路网中每

4、条道路、每个交叉城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 案例案例1 1 下图为某城市的局部单行示意图下图为某城市的局部单行示意图 【问题描述问题描述】： 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆). 5001234400300100200300 x1x2x3X4图3 某城市单行线车流量

5、示意图现在需要解决的问题如下：（1） 建立确定每条道路流量的线性方程组建立确定每条道路流量的线性方程组.（2） 为了唯一确定未知流量为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪还需要增添哪几条道路的流量统计几条道路的流量统计? （3） 当当x4 = 350时时, 确定确定x1, x2, x3的值的值.（4） 若若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合则单行线应该如何改动才合理理? 。【模型假设模型假设】： （1） 每条道路都是单行线 （2） 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等. 【模型建立模型建立】 根据图3和上述假设, 在, , , 四个路口进出车辆数目分别满足： 500 = x1 + x2

6、 400 + x1 = x4 + 300 x2 + x3 = 100 + 200 x4 = x3 + 300 n【模型求解模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组。12142334500100300300 xxxxxxxx 其增广矩阵1 1 0 0 5001 0 01 1000 1 1 0 3000 01 1300 初 等 行 变 换1 0 01 1000 1 0 16000 0 11 3000 0 0 00 (A, b) =由此可得142434100600300 xxxxxx 即：142434100600300 xxxxxx n为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可. 当x4 =