《离散数学》课件：7-2 多项式的整除性

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1、 设设F是域，是域，是一个抽象的符号，是一个抽象的符号，F上上面一个文字面一个文字的多项式形式如下：的多项式形式如下：a0n + a1n-1 + + an-1 + an其中其中 n，n-1，是非负整数是非负整数， 系数系数a0，a1，an F。的多项式可用的多项式可用（），），g（）等代表。）等代表。Note:v若若n=0，则此多项式只有一个，则此多项式只有一个“常数项常数项”a0，可，可看作是看作是F中的元素中的元素a0。v系数是系数是0的项可以删可添。的项可以删可添。定义定义. 两个多项式两个多项式()和和g()说是相等的，说是相等的，即即()=g()，如果可以添上一些系数是，如果可以添上

2、一些系数是0的的项使两个多项式完全一样。项使两个多项式完全一样。结论：结论： ()=0当且仅当所有系数当且仅当所有系数a0，a1，an都是都是0。结论：结论：若若()0，则总可以删去一些系数是，则总可以删去一些系数是0的的项将项将f(x)f(x)化为化为 a0n + a1n-1 + + an-1 + an的形式的形式, ,其中其中a00,这时这时, ,a0和和n显然都是唯一确定的。显然都是唯一确定的。 规定规定l 加法加法()+g()：()与与g()的同次项的系数相加。的同次项的系数相加。l 乘法乘法()g():()的每一项乘的每一项乘g()的每一的每一项项:arbs=abr+s,然后合并同次

3、项然后合并同次项,且以加号相联且以加号相联结结. 结论：结论：域域F上的所有多项式在多项式加法和乘法上的所有多项式在多项式加法和乘法下作成一个有壹的交换环，记为下作成一个有壹的交换环，记为F，称谓域，称谓域F上的交换环。上的交换环。F包含包含F为其子域，为其子域，F中的中的0就是就是F的零，的零，F中的中的1就是就是F的的1，-()就是把就是把()的所有系数取负所得到的多项式。的所有系数取负所得到的多项式。 l例例 设域设域F=0,1，则，则Fx=0,1,x,1+x,x2,1+x2，x+x2,1+x+x2,。这个域称为二元域，应用在。这个域称为二元域，应用在电话、电报、电视、传真、计算机中数据

4、传输、电话、电报、电视、传真、计算机中数据传输、打印机、打印机、VCD机、机、CD机纠错码上，以及卫星机纠错码上，以及卫星图片的传输等。图片的传输等。定义定义. 若若()0，且已化为，且已化为a0n + a1n-1 + + an-1 + an的形式，的形式，其中其中a00，那么，那么，a0称为称为()的首系数，的首系数，n称为称为()的次数的次数.()()的次数记为次的次数记为次()()。 规定：常数多项式规定：常数多项式0的次数是的次数是-。结论结论：次次( ()()+g()()max( (次次()()，次，次g()() 结论：次()g()=次()+ 次g() 证明: (1)若() 0， g

5、() 0，设()=a0n+a1n-1 +an-1+an,a00， g()=b0m+b1m-1+bm-1+bm,b00， 故()g()=a0b0n+m+anbm, a0b00，因此,次()g()=n+m=次()+次g(). (2)若()，g()中有一个是多项式0,则()g()=0,次()g()= -,由于-+m=-，n+（-）=-，-+（-）=-，故次()g()=次()+ 次g() 。例例 试证域试证域F上的多项式环上的多项式环Fx的理想都是主理想的理想都是主理想.l证证:设设I是是Fx的一个理想的一个理想.若若I中没有非零多项式中没有非零多项式,则则I=0,它是由它是由0生成的理想生成的理想.

6、若若I中有非零多项式中有非零多项式,设其中次数最低的为设其中次数最低的为g(x).对于它有两种情况对于它有两种情况:l(1)次次g(x)=0,即即g(x)=a F,且且a 0.a在在F中有逆元中有逆元 a-1, a-1a=1 I,故故I=Fx,是由是由1生成的主理想生成的主理想.l(2)次次g(x) 0,任取任取f(x) I,存在存在q(x),r(x) Fx使使得得f(x)=q(x)g(x)+r(x).因为因为g(x) I,且且I是是Fx的理的理想想,推出推出r(x) I.由于由于g(x)的取法知必有的取法知必有r(x)=0,因因此此f(x)=q(x)g(x) (g(x).有有f(x)的任意性

7、知的任意性知I (g(x).反之反之,g(x) I,对任意对任意h(x) Fx,g(x)h(x) I,从而从而(g(x) I.综上知综上知I=(g(x),证毕证毕.l有该例题知多项式环有该例题知多项式环Fx上的理想都是主理想上的理想都是主理想,即即Fx的的理想都是理想都是I=(p(x)的形式的形式,其中其中p(x)=a0 xn+a1xn-1+an, a0 0.那么域那么域F的多项式商环的多项式商环Fx/I=f(x)+I|f(x) Fx,而而f(x)=q(x)p(x)+r(x),f(x)-r(x) (p(x),即即f(x)+I=r(x)+I.所以所以Fx/I=b0 xn-1+b1xn-2+bn-

8、2x+bn-1+I |b0,b1,bn-1 F= |b0,b1,bn-1 Fl这里，一个多项式这里，一个多项式r(x)= b0 xn-1+b1xn-2+bn-2x+bn-1 它的它的次小于次小于n，上面加一杠成，上面加一杠成 是表示是表示l =r(x)+I,它是模它是模p(x)的剩余类。的剩余类。l例如，令例如，令F2=0,1,F上的多项式环记为上的多项式环记为F2x。令。令p(x)=1+x+x2 ，则，则F上模上模1+x+x2的多项式环的多项式环lFx/ 1+x+x2 =0,1,x,1+x。关于模的加法与乘法运算如。关于模的加法与乘法运算如下表。下表。1210.nnnbxbxb)(xr)(x