第15章电路方程的矩阵形式(丘关源)

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1、第十五章第十五章电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式重点：重点：(1)关联矩阵关联矩阵A、割集矩阵、割集矩阵Q及基本割及基本割集矩阵集矩阵Qf、回路矩阵、回路矩阵B及基本回及基本回路矩阵路矩阵Bf 的概念及其列写方法；的概念及其列写方法；(2)回路电流方程、结点电压方程、回路电流方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式及其列割集电压方程的矩阵形式及其列写方法。写方法。4-215.0 电路的图的复习电路的图的复习一、电路的图一、电路的图(简称简称G)的画法的画法图图G抛开元件性质抛开元件性质只画支路和结点只画支路和结点6543217有向图有向图支路方向支路方向(电压电电压电流的关联方向流的关联

2、方向)R4R1R3R2R6uS6+_iR5n(结点数结点数)4b (支路数支路数) 74-3二、二、 名词解析名词解析(1) 路径路径从一个节点到达另一节点所经过的支路。从一个节点到达另一节点所经过的支路。(2)连通图连通图任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。连通图至少存在两个分离部分。例如：例如：非连通非连通图图加此路径后加此路径后为连通图为连通图4-4(3)回路回路 (Loop) 一条路径的起点和终点重合，且经过的结点都相一条路径的起点和终点重合，且经过的结点都相异，则这条闭合路径就构成回路。异，则这条闭合路径就构

3、成回路。12345678253124578128457不是回路不是回路235是回路是回路共有几共有几个回路个回路？答：答：13个回路。个回路。4-5(4)树树T (Tree，简称，简称T)树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连通图。通图。注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径不是树不是树它的树它的树对应同一个图对应同一个图有很多的树有很多的树树支树支( bt )：构成树的支路。：构成树的支路。连支连支( bl )：属于：属于G(图图)而不属于而不属于T (树树)的支路。的支路。12345678若：若： b图图G

4、中所有的支路数中所有的支路数 n图图G中所有的结点数中所有的结点数则：则：树树25782578是树支是树支1346是连支是连支树支数树支数bt n1连支数连支数blb (n1)3(5)基本回路基本回路(单连支回路单连支回路) l在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组成的回路。成的回路。(每条连支与若干条树支所组成的回路每条连支与若干条树支所组成的回路)12345678树树2578基本回路基本回路:127、325458、678注意：注意： 1)基本回路具有独占的一条连枝的特点。基本回路具有独占的一条连枝的特点。 用基本回路列出用基本回路列出KVL彼此

5、之间一定不会重复，彼此彼此之间一定不会重复，彼此独立。因此基本回路一定是独立回路。独立。因此基本回路一定是独立回路。2)独立回路数目独立回路数目=基本回路的数目基本回路的数目=连支数连支数=b(n1) 。3)对于平面电路，独立回路数目对于平面电路，独立回路数目=网孔数网孔数 。4-8三、三、 KCL的独立方程数的独立方程数 n个结点的电路个结点的电路, 独立的独立的KCL方程为方程为n- -1个。个。四、四、 KVL的独立方程数的独立方程数 KVL的独立方程数基本回路数的独立方程数基本回路数b(n1)五、五、电路的独立方程数电路的独立方程数 n个结点、个结点、b条支路的电路中，电路独立的方程总

6、数条支路的电路中，电路独立的方程总数为：为：(n1) b(n1) b等于支路数目等于支路数目4-915.1 割集割集(Cut set )一、割集一、割集Q的基本性质的基本性质割集割集Q ：是连通图：是连通图G中某些支路的集合，其特点为：中某些支路的集合，其特点为：(1)把割集把割集Q中全部支路移去，电路图分成二个分离部分。中全部支路移去，电路图分成二个分离部分。(2)任意放回割集任意放回割集Q 中一条支路，电路图仍构成连通图。中一条支路，电路图仍构成连通图。 876543219可见：可见：(1 9 6)支路全部移去，支路全部移去，图分成二个分离部分图分成二个分离部分。任意放回任意放回(1 9

7、6)中任一条支路，图构成连通图。中任一条支路，图构成连通图。所以所以(1 9 6)是割集。是割集。8765432194-10876543219(12 6 8)是割集吗？是割集吗？是。是。75439(2 8 9)、(3 6 8)、(4 6 7)、(5 7 8)等也是割集。等也是割集。割集的意义：割集的意义： 一个割集就对应于一个结点一个割集就对应于一个结点(或广义结点或广义结点) ,即对应即对应于一个于一个KCL方程。方程。4-11不是。不是。876543219(3 6 5 8 7)、(3 6 2 8 9)是割集吗？是割集吗？4219二、独立割集二、独立割集独立割集：割集中包含有未被割过的支路。

8、独立割集：割集中包含有未被割过的支路。独立割集对应于一组独立的独立割集对应于一组独立的KCL方程。方程。三、基本割集三、基本割集基本割集：只含有一个树枝的割集。基本割集：只含有一个树枝的割集。基本割集一定是独立割集。基本割集一定是独立割集。但独立割集不一定是基本割集。但独立割集不一定是基本割集。基本割集数基本割集数= =独立割集数独立割集数= =树枝数树枝数bt = =n14-1215.2 关联矩阵关联矩阵回路矩阵回路矩阵割集矩阵割集矩阵 在分析复杂电路时常遇到列代数方程组或微分方程在分析复杂电路时常遇到列代数方程组或微分方程组：如回路电流法、结点电压法组：如回路电流法、结点电压法。在回路多、

9、结点。在回路多、结点多的情况下列写和求解方程十分麻烦。但如果采用矩阵多的情况下列写和求解方程十分麻烦。但如果采用矩阵表示这些方程组，会使它们的表示变得十分简洁，同时表示这些方程组，会使它们的表示变得十分简洁，同时也方便研究和计算，特别适合在计算机上应用。也方便研究和计算，特别适合在计算机上应用。一、一、图的矩阵分类图的矩阵分类 1、关联矩阵、关联矩阵结点结点支路关系矩阵支路关系矩阵2、回路矩阵、回路矩阵回路回路支路关系矩阵支路关系矩阵3、割集矩阵、割集矩阵割集割集支路关系矩阵支路关系矩阵4-13二、关联矩阵二、关联矩阵(用用A表示表示) 在任一图中，若某一支路连接在某两个结点上，称在任一图中，

10、若某一支路连接在某两个结点上，称该支路与这两个结点彼此关联。将该图所有结点与所有该支路与这两个结点彼此关联。将该图所有结点与所有支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称关联矩阵支路的这种关联性质用矩阵描述出来，称关联矩阵Aa。 n个结点、个结点、b条支路有向图的关联矩阵条支路有向图的关联矩阵Aa如何列写？如何列写？65432171234(2)给各给各支路、各结点支路、各结点分别编号。分别编号。为区别起见为区别起见,结点结点编号加一小圆圈。编号加一小圆圈。1、关联矩阵、关联矩阵Aa的列写步骤的列写步骤(1)确定确定支路方向支路方向(电压电流的关联方向电压电流的关联方向)，使图成为有，使图成为有向图。

11、向图。4-14支支 支支路路 路路 1 2结点结点结点结点有有n 个结点个结点,就有就有n行。行。有有b 条支路条支路,就有就有b列。列。(3)列写矩阵列写矩阵Aa 。注意：矩阵中的行对应于结点，列对应于支路。注意：矩阵中的行对应于结点，列对应于支路。 333231232221131211aaaaaaaaaAa矩阵矩阵Aa的每一个元素的每一个元素ajk定义为：定义为：ajk+1 结点结点j与支路与支路k关联，支路方向背离结点。关联，支路方向背离结点。ajk- -1 结点结点j与支路与支路k关联，支路方向指向结点。关联，支路方向指向结点。ajk0 结点结点j与支路与支路k无关。无关。4-1565