概率论与数理统计习题集及答案

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1、概率论与数理统计作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ；B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发

2、生,而C不发生表示为： .(3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： .(5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： .2. 设：则 （1） ，（2） ，（3） ， （4）= ，（5）= 。§1 .3 概率的定义和性质1. 已知，则 (1) , (2)()= , (3)= .2. 已知 则= .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4

3、个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。2. 已知 则 。§1 .6 全概率公式1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。§1 .7 贝叶斯公式1 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经

4、调试的概率。2 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。 A B L R C D 2. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作业答案§1

5、.1 1：（1）； （2）2：（1）； （2）正正，正反正正，反反正正，正反，反正。§1 .2 1： (1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；(6) 或 ；2： (1)；(2)；(3)；（4）或 ；（5）。§1 .3 1： (1) =0.3, (2)= 0.2, (3) = 0.7. 2：)=0.4.§1 .4 1：(1),(2)(,(3)1-(.2： .§1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。§1 .6 1： 设A表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10设B表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P()P

6、(B|) =两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45§1 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；§1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = ABCD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1

7、-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码., 试写出X的分布律.2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。§2.2 分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概

8、率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y(X), 试求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y2)； (2)P(Y2)； (3) 已知 Y2, 求X=2 的概率。§2.3 贝努里分布1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？2 设每次射击命中率为0.2，问至少必

9、须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.4 随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是： F(x) = （1）求 P(X0 )； P；P(X1)，(2) 写出X的分布律。2 设随机变量X的分布函数是：F(x) = , 求（1）常数A, (2) P.§2.5 连续型随机变量1 设连续型随机变量的密度函数为：（1）求常数的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形，（3）用二种方法计算 P(- 0.5<X<0.5).2 设连续型随机变量的分布函数为：F(x) = (1)求X的密度函数，画出的图形，(2)并用二种方法计算 P(

10、X>0.5).§2.6 均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。§2.7 正态分布1 随机变量XN (3, 4), (1) 求 P(2<X5) , P(- 4<X10), P(|X|>2), P(X>3)；(2) 确定c，使得 P(X>c) = P(X<c)。2 某产品的质量指标X服从正态

11、分布，=160，若要求P(120<X<200)0.80，试问最多取多大？§2.8 随机变量函数的分布1设随机变量的分布律为； X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3Y = 2X 1, 求随机变量的分布律。2设随机变量的密度函数为：，；求随机变量Y的密度函数。3. 设随机变量服从（0， 1）上的均匀分布， ，求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案§2.1 1： X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.62： X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6