第02章 受迫振动

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1、第二章第二章 受迫振动受迫振动2.1 线性系统的受迫振动2.2 几个简化的实际例子2.3 任意周期激励的响应2.4 非线性系统的受迫振动2.5 线性系统的瞬态响应第二章 受迫振动系统在外界激励下产生的振动称为受迫振动，系统的受迫振动状态称为响应。激励既可以是外界提供的直接的力、力偶，也可能是间接作用因素，如温度、电磁场、位移等变化。按激励随时间的变化形式，可分为周期、瞬态和随机激励，本章学习周期和瞬态激励下，系统响应的求解方法和规律。2.1 线性系统的受迫振动1. 简谐激励的受迫振动简谐激励力写成复数形式为tieFtF0)(阻尼系统受迫振动方程为tieFkxxcxm0 这是一个线性常系数非齐次

2、常微分方程，激励项显含时间变量t，因此系统成为非自治系统。线性方程的解可用叠加法，即方程的全解齐次通解非齐次特解。齐次通解上一章已求出，为)sin(1tAexdt(2.1)图2.1F(t)非齐次特解用试凑法，设特解为 ，代入（2.1），得 tiXex2icmkHFHX201)(,)(H()是激励频率 的复变函数，称为系统的频率响应函数，简称频响函数。 H()写成指数形式为21222tan)()(1| )(|)(mkcecmkeHHii于是特解为)(2220)(2)()(|titiecmkFeXx(2.2)(2.4)(2.3)方程（2.1）的全解为为)(|)sin()(tidteXtAetx(2

3、.5)上式右边第一项随时间衰减，称为暂态响应，第二项是持续振动，称为稳态响应。待定常数A、由初始条件确定。系统的最后振动状态只剩下稳态响应，下面研究稳态响应与频率的关系。稳态振动（2.4）的频率与激励频率相同，振幅| X |和相位差 是激励频率的函数，由（2.3）、（2.4）式，将它们写成无量纲参数形式0022222220020002222222240000111022220|()()()(2)(1/)(2) /(1)(2)22tantantan1FFkXmkmckXXsscskms为频率比。为系统的静态位移，其中000skFX定义振幅放大因子 b 为|)(0XXs b，则可得2122212t

4、an)2()1 (1)(sssssb幅频特性相频特性幅频特性曲线和相频特性曲线如图2.2。(2.6)(2.7)ss相角放大率b图2.2 幅频特性曲线和相频特性曲线由图可见，对于小阻尼和无阻尼情况，在s = 1附近，放大因子有明显的极大值，这种现象称为共振，对应的激励频率称共振频率，附近的幅频特性曲线称为共振峰。共振频率的准确值由db /ds = 0 导出2021m当阻尼较小时，共振频率近似等于固有频率。因此，对受迫振动，固有频率同样是一个重要的系统参数。共振峰的高度为2121bm时，因此当当2/2);0(1, 2/2bbbm幅频曲线已没有共振峰。因此系统共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯一确定，定

5、量关系由系统品质因数Q 描述：(2.8)(2.9)b211sQ(2.10)12bQ2/Q图2.3显然，对小阻尼系统，可得bb000121222222121122111221)6 . 2(2212/, 3 . 2,QssssQQm因此所以式解出对应的频率比为由时，当参见图(2.11)(2.12) 称为系统的带宽。 (2.11)、(2.12)式表明，品质因素Q同时表征了共振峰曲线的高度和陡削程度，即Q越大，则共振峰越高、越陡削。当系统的激励为正弦函数和余弦函数时，方程（2.1）的解为)cos(|)cossin()cos(|)sin()cos(|cos)sin(|)cossin()sin(|)sin

6、()sin(|sin2020tXtCtBextXtAextXxtFtXtCtBextXtAextXxtFddtdtddtdt或全解稳态响应激励或全解稳态响应激励(2.13)(2.14)2100222020012tan,)2()1 (,1,sskFXssXXCBAd而由初始条件确定，、或、其中上式中各个参数重写如下：2. 受迫振动的过渡过程系统从开始受到激励到稳态振动，有一个过程，称为过渡过程。研究过度过程有实际意义，如机器的通过共振问题。为简单起见，只说明无阻尼系统的过度过程。在（2.13）式中，令阻尼等于零，得全解为tsXtCtBxsin1)cossin(2000代入初始条件000:(0),

7、(0)txxxx，得)sin(sin1cossin02000000tstsXtxtxx上式右边第一、二项是由初始条件引起的自由振动，第三项是激励作用下的稳态振动，第四项是激励引起的自由振动，这一项需要特别注意。振动的时间历程曲线如图2.4。(2.16)(2.15)t图2.4在实际系统中，总有阻尼存在，（2.16）式中的第一、二项会很快衰减，当激励频率与固有频率接近时，会出现一种特殊的振动现象，即拍振现象。解释如下：令s = 1+2e，上述条件下（2.16）式变为ttXttXttXtstsXx000000020cos)(cos)sin2()sin(sin4)sin(sin1eee因此，x可看成是

8、振幅（X(t)）按慢频率（慢节拍）周期变化（振幅不恒定、慢变）、位移按快频率变化（位移快变）的周期振动，时间历程曲线如图2.5。(2.17)图2.5e210kF当激励频率等于系统的固有频率时，即共振时，从（2.15）式看，系统的稳态解为2020211,sin11skFtskFx振幅但再经仔细研究，无穷大的振幅不是瞬间达到的，而是逐渐建立的。实际上，这时特解的假设模式应改为如下形式)sin(022ttXx代入无阻尼受迫振动方程)sin(sin)/(0200000tXtmFxx 得2,90sin)cos(2sin)sin()sin()cos(20020200002020002020202002XX

9、tXtXtXttXttXtX所以即由此得无阻尼受迫振动方程的特解为ttXttXx0000002cos2)2sin(2(2.18)可见共振振幅tX200随时间线性增长，如图2.6。tX200图2.6tF sin0mc1k2.2E图图0sinFt211 11210()0()sinkxxk xcxmxkxxFt ) 1 ()2(1221 21200() ()sincoscmxkk mxk cxk k xkk Ftc Ft) 3(tiez12i tz e)()(0211HFkkz)(02HFcz ieHcmckimkkkkH)()(1)(32221212221212arctan()/()kmck kk

10、km)(2)(1titiezezx1200()( ) sin()( ) cos()xkkF HtcF HtoBRlm例2.2图xym),(yxlROB 解：用Lagrange方程建立系统动力学程，取广义坐标 ，本题为完整非定常系统。)cos(coslRx)sin(sinlRy转子每转一周简谐激振 n 次，为消减扭振采用一单铰接于圆盘的B点，OB = R，摆长为 l，摆锤质量为m。不考虑初值影响时求扭振振幅与单摆振幅的 例2.2 离心摆激振器的力学模型如图所示。转子以角速度 转动，由于激振扭距的作用，转子产生扭转振动sinmt 比，并讨论用单摆减震。（提示：转子转速较高时，重力与质量力相比很小，

11、对于摆的影响可以忽略不计。）2222222)(cos)(2lRlRyxv2201122TImv0TTdtd0sin)()(2RllRldtd线性化线性化 )1 (2lRlRttmmsin,cos2 m)sin()(sinlRx)cos()(coslRy22222222sin(1)()()()(1)mmmmmtRlRlRRn llnRRl nl， 其 中稳态解为：稳态解为：而而2200 mRn lRnln讨论：当时， ，即完全消除了振动。因此若恒定，则可选取设计吸振器。tlRlRmsin)1 (22 所以 例例2.3 汽车拖车可简化为图所示的力学模型，其中汽车拖车可简化为图所示的力学模型，其中m