第11章滤波器设计

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1、DIP第第9、10章是分析设计线性滤波器的基础，本章章是分析设计线性滤波器的基础，本章则是讨论设计实现特定目标的滤波器。则是讨论设计实现特定目标的滤波器。让信号与矩形脉冲做卷积，让信号与矩形脉冲做卷积，能实现局部平均，从而减弱高频噪声的影响。它称为能实现局部平均，从而减弱高频噪声的影响。它称为滑动平均滤波器滑动平均滤波器。DIP矩形脉冲信号的傅立叶变换为内插函数，矩形脉冲信号的傅立叶变换为内插函数，谱的过零点就会高于信号最高频率，谱的过零点就会高于信号最高频率2倍。倍。10 a( )()2xf xa sin(2)( )22asF saas2a01/as见图，由于负旁瓣的见图，由于负旁瓣的影响，

2、使不同频率的影响，使不同频率的垂直棒状图案的黑白垂直棒状图案的黑白极性出现反转。极性出现反转。DIP根据相似理论，只要矩形滤波器不超过两个像根据相似理论，只要矩形滤波器不超过两个像素宽度（够窄），它的传递函数的过零点就会落在素宽度（够窄），它的传递函数的过零点就会落在被采样数据的最高频率以外，否则图像中的细微结被采样数据的最高频率以外，否则图像中的细微结构（高频成分）就存在极性反转危险。构（高频成分）就存在极性反转危险。DIP高斯函数的傅立叶变换仍为高斯函数，因此高斯函高斯函数的傅立叶变换仍为高斯函数，因此高斯函数能构成一个在时域和频域都具有平滑性能的低通滤波数能构成一个在时域和频域都具有平滑

3、性能的低通滤波器。可通过在时空域卷积或频域相乘来实现高斯滤波。器。可通过在时空域卷积或频域相乘来实现高斯滤波。DIP用三角脉冲用三角脉冲 (x)做为低通滤波器做为低通滤波器的冲激响应，又称为的冲激响应，又称为加权平均滤波器加权平均滤波器。三角脉冲的谱具有的形式，不会变负（不三角脉冲的谱具有的形式，不会变负（不反转），随频率提高，衰减速度快。反转），随频率提高，衰减速度快。连续两次矩形滤波可得到三角波同样的效果。连续两次矩形滤波可得到三角波同样的效果。2sin xx这种方式的低通滤波方法由三步组成这种方式的低通滤波方法由三步组成a)计算信号的傅立叶变换；计算信号的傅立叶变换；b)将幅度谱的高频部

4、分置将幅度谱的高频部分置0（频域截取）；（频域截取）；c)求傅立叶反变换。求傅立叶反变换。这种做法等同于用一个矩形脉冲去乘幅度谱，也这种做法等同于用一个矩形脉冲去乘幅度谱，也可认为是用与信号卷积。但它会在尖峰或边界可认为是用与信号卷积。但它会在尖峰或边界附近出现振铃，因此高频截止滤波的用途有限。附近出现振铃，因此高频截止滤波的用途有限。sin xxDIP带通和带阻是实用中的需求，保留或去掉频谱带通和带阻是实用中的需求，保留或去掉频谱中不同频段内的成分。中不同频段内的成分。00( )()()()sG ssssss 00sin()sin()( )2cos(2)2cos(2)ststg tss ts

5、s tstst s s-f11s0-f2G(s)f2f1121( )0fsfG selse由于由于G(s)是一对矩形脉冲，可令：是一对矩形脉冲，可令：012211(),2sffsff DIP理想带通滤波器的冲激响应理想带通滤波器的冲激响应DIP当当 (s)很小时，为很小时，为“切口切口”滤波器（滤波器（notch filter），），也叫陷波器。也叫陷波器。s s-f11s0-f2G(s)f2f1120( )1fsfG selse00( )1()()()sG ssssss 0sin()( )( )2cos(2)stg ttss tst DIP理想带阻滤波器的冲激响应理想带阻滤波器的冲激响应DI

6、P用一个非负单峰函数用一个非负单峰函数K(s)与与s0处的冲激偶作卷积。处的冲激偶作卷积。00( )( )()()G sK sssss0( )2 ( )cos(2)g tk ts t假定假定K(s)是高斯函数，则是高斯函数，则22/200( )()()saG sAessss22/2022( )cos(2)2tAg tes t12 a其中：其中：4s0G(s)-s0DIP高斯带通滤波器的冲激响应高斯带通滤波器的冲激响应显然，利用上述技术也可以很容易地构造带阻滤波器。显然，利用上述技术也可以很容易地构造带阻滤波器。DIP传递函数在零频处为传递函数在零频处为1，频率升高则，频率升高则H(s)增长，增

7、长，（由于不能无限增长），至某个频率值后开始衰减，直（由于不能无限增长），至某个频率值后开始衰减，直至至0。用两个不同宽度的高斯函数的差分来产生用两个不同宽度的高斯函数的差分来产生222212/2/212( ),ssG sAeBeAB222212/2/222121( ),222ttiiABg teeDIP高斯高频增强滤波器的传递函数高斯高频增强滤波器的传递函数DIP高斯高频增强滤波器的冲激响应高斯高频增强滤波器的冲激响应DIP假定滤波器的冲激响应是假定滤波器的冲激响应是脉冲脉冲减减脉冲，则其脉冲，则其G(s)具有高频增强具有高频增强滤波器的形状。下面要估算滤波器的形状。下面要估算G(s)在在s

8、=0处的值处的值及及s=?时时G(s)最大最大。12( )( )( )g tg tg t脉冲脉冲脉冲脉冲：对：对g(t)做傅立叶变换并令做傅立叶变换并令s=02 01212(0)( )( )( )jtGg t edtg t dtg t dtAA这个值恰好相当于两个这个值恰好相当于两个s=0时的时的G(s)的幅度差的幅度差12(0)(0)GG由于由于G(s)非负，最大值出现在非负，最大值出现在G2(0)=0时，于是时，于是max111(0)( )GGg t dtADIP：指滤波器对图像中：指滤波器对图像中较大物体较大物体和和恒值灰度区恒值灰度区域域的响应。假定冲激响应的响应。假定冲激响应g(t)

9、的持续时间有限，而输的持续时间有限，而输入信号入信号f(t)在在g(t)期间恒定。于是系统输出：期间恒定。于是系统输出：( )( ) ()()( )h xfg xdcg xdcgd由于由于s0时的傅立叶变换：时的傅立叶变换：(0)( )Gg t dt( )(0)h xcG因此，如果因此，如果G(0)=1，那么滤波器将不改变那么滤波器将不改变f(x)中的大中的大而且恒定区域的幅度（低频响应为而且恒定区域的幅度（低频响应为1，即低频无改变），即低频无改变）对二维场合，滤波器不改变输入图像中大而平坦区域对二维场合，滤波器不改变输入图像中大而平坦区域的对比度。如果的对比度。如果G(0) 1，则该参数成

10、为增益因子，控则该参数成为增益因子，控制着制着h(t)和和f(t)的较大分量的总体幅度关系。的较大分量的总体幅度关系。DIP在数字图像处理中曾经出现非常多的滤波器设在数字图像处理中曾经出现非常多的滤波器设计，但很多都是次优的，计，但很多都是次优的，并不是最优并不是最优。次优滤波器（易于用计算机实现）可能会给图次优滤波器（易于用计算机实现）可能会给图像引入人为的现象，而且常常是不可预料的。例如像引入人为的现象，而且常常是不可预料的。例如在一个域为矩形的滤波器，在对应的域中则会产生在一个域为矩形的滤波器，在对应的域中则会产生减幅振荡（振铃）。减幅振荡（振铃）。对于对于是是最优的，而最优的，而对于对

11、于是最优的。是最优的。DIP用用来描述未知的受到噪声污染的信号，即只来描述未知的受到噪声污染的信号，即只有关于某信号的一些一般知识而缺乏具体了解。有关于某信号的一些一般知识而缺乏具体了解。：对：对某成员某成员在时间区间上作积分来计算随机在时间区间上作积分来计算随机变量。变量。：计算：计算所有成员所有成员函数在某个特定时函数在某个特定时间点取值的平均值。间点取值的平均值。：(1)所有成员函数的时间均值相等；所有成员函数的时间均值相等；(2)样本集均值不随时间而改变；样本集均值不随时间而改变；(3)时间均值和样本集时间均值和样本集均值在数值上相等均值在数值上相等。因此，。因此，。DIP期望算子期望