微分方程建模的若干问题讲稿(下)

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1、 (2) F( r , t ) 为关于为关于 r , t 的连续可微二元函数，记的连续可微二元函数，记 mrrtrrFtrp0,),(),(4) 任何时刻任何时刻 t ，出生婴儿的人口分布密度（即单位时间，出生婴儿的人口分布密度（即单位时间 内出生的婴儿数）为已知函数内出生的婴儿数）为已知函数 p ( 0 , t ) = p1 ( t ) ； 二偏微分方程建模实例 考虑年龄结构的人口连续模型考虑年龄结构的人口连续模型 不考虑人口的迁移，只考虑自然的出生和死亡，建立有不考虑人口的迁移，只考虑自然的出生和死亡，建立有 年龄结构的人口连续模型。记年龄结构的人口连续模型。记 F( r , t ) 为时

2、刻为时刻 t 时，时， 年年 龄小于龄小于 r 的人口总数，称之为人口分布函数。的人口总数，称之为人口分布函数。 建模假设：建模假设：(1) 人的最大年龄为常数人的最大年龄为常数 rm ； 称为年龄的人口分布称为年龄的人口分布 密度函数密度函数 ； (3) 初始时刻的人口分布密度为已知函数初始时刻的人口分布密度为已知函数 p ( r , 0) = p0 ( r )建模过程建模过程 考虑年龄在考虑年龄在 r , r + dr 之间的人群从时刻之间的人群从时刻 t 到时刻到时刻 t + dt 的变化情况，这部分人原来的人数近似为的变化情况，这部分人原来的人数近似为 p ( r , t ) dr ,

3、 经过经过 dt 时间后，这部分人中继续生存的时间后，这部分人中继续生存的 年龄位于年龄位于 r + dt , r + dr + dt 之间，其总人数近似为之间，其总人数近似为 p ( r + dt , t + dt ) dr , (5) 任何时刻任何时刻 t 和任何年龄和任何年龄 r 处的人口死亡率为已知函数处的人口死亡率为已知函数 ),(tr 这部分人中死亡人数近似为这部分人中死亡人数近似为dtdrtrptr),(),(dtdrtrptrdrdttdtrpdrtrp),(),(),(),(),(),(trptrtprp0),(, )(), 0(, )()0 ,(10trptptprprpm

4、 应有应有 任何时刻的总人数为：任何时刻的总人数为：mrdrtrptN0),()( 某时刻某时刻 t 处，在年龄段处，在年龄段 r1 , r2 中的总人数为：中的总人数为： 21),()(rrdrtrptN 平均年龄为：平均年龄为： mrdrtrprtNtR0),()(1)( t r rm 0 ),(),(trptrtprp)()0 ,(0rprp0),(trpm)(),0(1tptp 可以证明，这样的可以证明，这样的 初、边值问题初、边值问题 是是 适定适定 的。的。 热量（物质）扩散模型热量（物质）扩散模型 建模假设：建模假设：(1) 细杆长度为细杆长度为 l ， 其材料是均匀的，即其材料

5、是均匀的，即 细杆的密度细杆的密度 （克（克 /厘米厘米3 ），）， 比热系数比热系数 c （卡（卡 / 克克度度 ）均为常数）均为常数 ； (2) 杆中热量传导服从杆中热量传导服从 Fourier 定律定律，即单位时间内，即单位时间内 通过单位面积的热量与温度关于位置量通过单位面积的热量与温度关于位置量 x 的下降率成的下降率成 正比正比 ，比例系数（导热率）为常数，比例系数（导热率）为常数 k ; (3) 杆的左段温度为杆的左段温度为 u ( 0 , t ) = u1 , 杆的右段温度为杆的右段温度为 u ( l , t ) = u2 , u1 u2 , 均为已知常数均为已知常数 ；(4)

6、 细杆的初始温度分布为已知函数细杆的初始温度分布为已知函数 u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) . 一根均匀细杆，沿着杆长方向一根均匀细杆，沿着杆长方向 x 维持一定的温度差，维持一定的温度差， 试建立杆上每一点试建立杆上每一点 x 处关于时间处关于时间 t 的温度分布模型的温度分布模型 .建模过程建模过程 取细杆的一小段取细杆的一小段 x , x +x , 设细杆的截面设细杆的截面积为积为 s 0 厘米厘米2 ，记，记 q ( x , t ) 为热流密度（卡为热流密度（卡 / 秒秒 厘米厘米2 , 单位时间内通过单位面积的热量单位时间内通过单位面积的热量 ），），（ x s 0

7、）c u ( x , t +t ) u ( x , t ) （卡）（卡） ， 则在则在 t 时间内，沿时间内，沿 x 方向流入小段方向流入小段 x , x +x 的的 总热量数近似为：总热量数近似为： q ( x , t ) s 0 t （卡）（卡） , 流出小段流出小段 x , x +x 的总热的总热 量数近似为：量数近似为： q ( x +x , t ) s 0 t （卡）（卡） , 流入小段与流出小段的热量差使得小段的温度升高，流入小段与流出小段的热量差使得小段的温度升高， 这个热量差可以根据下式计算：这个热量差可以根据下式计算：),(),(),(),(00txuttxucxststxx

8、qtxq 根据热量守恒定律，流入小段根据热量守恒定律，流入小段 x , x +x 的总热量的总热量 - - 流出小段流出小段 x , x +x 的总热量的总热量 = 温度升高所需热量温度升高所需热量 利用利用 Fourier 定律，有：定律，有： xtxuktxq),(),(xtxxuktxxq),(),(),(),(),(),(txuttxucxttxxxutxxuk,)0(,02222ckaxuatu)()0 ,(,),(,), 0(021xuxuutluutu t x l 0 0222xuatu)()0 ,(0 xuxu1), 0(utu2),(utlu这样的这样的 初、边值问题初、边值

9、问题 是是 适定适定 的。的。 即问题的解是即问题的解是 存在、唯一存在、唯一 的，且的，且 连续依赖连续依赖 于初边值数据于初边值数据 。 弦振动模型弦振动模型 在在 a , b 上绷紧的弦，将之垂直拉起然后放开，弦发上绷紧的弦，将之垂直拉起然后放开，弦发 生上下震动，试求出上下方向上位移生上下震动，试求出上下方向上位移 u ( x , t ) 的规律的规律 . 建模假设：建模假设： (1) 假定弦是均匀的，柔软的，处在直线绷紧假定弦是均匀的，柔软的，处在直线绷紧 状态下；弦只能作微小横振动状态下；弦只能作微小横振动 ；(2) 弦的线密度为常数弦的线密度为常数 。 ),(),(),(txux

10、txutxxuTttxx 建模过程建模过程 取一小段弦取一小段弦 x , x +x , 应有：应有： T1 cos 1 = T2 cos 2T2 sin 2 - - T1 sin 1 = x utt （ Newton Law ） cos 1 1 , cos 2 1 , sin 2 tg 2 = u x ( x + x , t ) , 2 1 T1 x x +xT2sin 1 tg 1 = u x ( x , t ) ,0,0222222Taxuatu),(),(),(txuxtxutxxuTttxx t x b 0 )()0 ,(0 xuxu0),(tau0),(tbu这样的这样的 初、边值问

11、题初、边值问题 是是 适定适定 的的 。022222xuatu0)0 ,(xux a 休渔期鱼群分布规律模型休渔期鱼群分布规律模型 建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。建模假设：建模假设：(1) 海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸 线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；海岸 0 外海 x (2) 规定休渔区域在沿海规定休渔区域在沿海 l l 公里以内；休渔边界公里以内；休渔边界 x = l l 外，鱼群将全部被外海渔船打尽；外，鱼群将全部被外海渔船打尽