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1、2.32.3有理指数定律和阵点平面指数有理指数定律和阵点平面指数OA1A2B1B2C1C2Q1Q2XYZ结晶多面体上的两个晶面结晶多面体上的两个晶面Q1，Q2在在X,Y,Z三个坐标轴上的三个坐标轴上的截距分别为截距分别为OA1和和OA2，OB1和和OB2，OC1和和OC2，其对应二者的比值连比可以简化为三个互质的整其对应二者的比值连比可以简化为三个互质的整数连比：数连比：)(:212121hkllkhOCOCOBOBOAOA这个定律是法国科学家这个定律是法国科学家HAY在无限劈裂方解石成在无限劈裂方解石成a a101101 5555 角的多面体启示下角的多面体启示下发现的。当时还不能发现的。当
2、时还不能证明此定律。所以叫有理指数定律证明此定律。所以叫有理指数定律经验的总结。经验的总结。后来被晶体学的点阵结构理论所证明。证明方法：后来被晶体学的点阵结构理论所证明。证明方法：131313把相交于一点的三个晶棱作为坐把相交于一点的三个晶棱作为坐标轴，以初基单胞的棱长为坐标标轴，以初基单胞的棱长为坐标的标度。把一个晶面放到此坐标的标度。把一个晶面放到此坐标系，这个晶面在坐标轴上的截距系，这个晶面在坐标轴上的截距倒数之比可以简化为一互质的整倒数之比可以简化为一互质的整数连比。数连比。2.3.2 阵点平面指数阵点平面指数 阵点平面指数阵点平面指数(hkl)首先由米勒引用，以后称为首先由米勒引用，
3、以后称为米勒指数。米勒指数。 有了有理指数定律，当晶体选取适当的坐标轴有了有理指数定律，当晶体选取适当的坐标轴后，就可以标定阵点平面或晶面指数。后，就可以标定阵点平面或晶面指数。步骤为：步骤为：(1)选择不同阵点平面的三个坐标轴选择不同阵点平面的三个坐标轴X,Y,Z，相应的，相应的轴单位分别为轴单位分别为a,b,c，使欲求指数的阵点平面与三，使欲求指数的阵点平面与三个坐标轴相交。个坐标轴相交。(2)测量阵点平面与坐标轴的交点到原点距离，即测量阵点平面与坐标轴的交点到原点距离，即求得求得pa,qb,rc，p,q,r称为轴系数。称为轴系数。(3)取阵点平面在三个坐标轴的轴系数的倒数，并取阵点平面在
4、三个坐标轴的轴系数的倒数，并乘以适当因子，使其换算到三个互质整数连比。乘以适当因子，使其换算到三个互质整数连比。即可求得该阵点平面指数即可求得该阵点平面指数(hkl)XYZOpqr求出求出pa,qb和和rc,然后求然后求lkhArqp:1:1:1立方初基单胞的一些重要阵点平面立方初基单胞的一些重要阵点平面阵点平面指数阵点平面指数(hkl) 注意四点：注意四点：(1)(2)当阵点平面与坐标轴当阵点平面与坐标轴X轴平行时，在轴平行时，在X轴上有轴上有 a，这时这时当然还可以得到当然还可以得到)(:)(l khlkhlkhhkl)0(:01:1:1)(kllkrqhkl)00()00()00()0(
5、)0(hklhklh(3)属于同一阵点平面簇平面指数相同属于同一阵点平面簇平面指数相同(hkl).(4)晶体外形的晶面的平面指数称为晶面指数或米晶体外形的晶面的平面指数称为晶面指数或米勒指数。对于原点异侧的平行晶面用不同的晶面勒指数。对于原点异侧的平行晶面用不同的晶面指数表示。规定指数表示。规定)()(l khhkl 例 求点阵面指数步骤如下：步骤如下：1. 建立坐标系建立坐标系2. 截距截距x=1/4, y=2/3, z=1/2 3. 倒数倒数: 1/x = 4, 1/y =3/2, 1/z =24. 将倒数乘公因子将倒数乘公因子2, 化为最小整数化为最小整数 5. 加圆括号加圆括号: (8
6、34)例例. 求下列点阵面的求下列点阵面的密勒密勒指数指数(100)111（110）晶晶(阵点阵点)面族面族 hkl: 晶体中方位不同晶体中方位不同但原子排列状况相同的所有晶面的组合但原子排列状况相同的所有晶面的组合.例例: 立方晶系立方晶系,111 = (111) + (111) + (111) + (111) + (1 1 1) + (1 11) + (111) + (11 1) (111)晶面在背面晶面在背面xyz(111)(111)(111)右图中四个晶右图中四个晶面的原子排列相面的原子排列相同同, 同属同属111晶晶面族面族 4.4.晶向指数与晶面指数晶向指数与晶面指数晶体中由原子组
7、成的直线和平面分别称为晶晶体中由原子组成的直线和平面分别称为晶向和晶面。向和晶面。国际上通用密勒国际上通用密勒( (W. .H.Miller)的的标识方法，来标识方法，来表示晶向和晶面的空间取向，表示晶向和晶面的空间取向，称为密勒指数。称为密勒指数。(1) 建立坐标系建立坐标系: 以任一阵点为坐标原点，以以任一阵点为坐标原点，以晶轴为坐标轴晶轴为坐标轴, 并以点阵基矢并以点阵基矢a、b、c为相应为相应坐标轴单位矢量坐标轴单位矢量;yzx0,0,01,1,1B 晶向指数确定方法晶向指数确定方法(同阵点直线同阵点直线)：(4) 将将3个坐标值按比例化为个坐标值按比例化为最小整数（即互质的整数最小整
8、数（即互质的整数），并加方括号），并加方括号 111.(3) 求出求出该该直直线线上任意上任意一点的坐一点的坐标标 1,1,1;(2) 通过坐标原点引一直线，通过坐标原点引一直线，使其平行于待标识的晶向使其平行于待标识的晶向;abc注意注意: : 立方晶系中立方晶系中, 凡指数相同的晶向与凡指数相同的晶向与晶面均互相垂直晶面均互相垂直, 如如100100(100100), 110110(110110)等等2.3.3 干涉指数干涉指数问题：问题：在（在（hkl）晶面组（其晶面间距为晶面组（其晶面间距为dhkl）同一同一空间方位上，设若有晶面间距为空间方位上，设若有晶面间距为 dhkl/n (n为
9、任意整为任意整数）的晶面组，应如何标识？数）的晶面组，应如何标识？ A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x图中图中: A1，A2，A3，为（为（010）晶面组（其面间）晶面组（其面间距为距为d010），在此组晶面中分别插入），在此组晶面中分别插入B1，B2，晶晶面，则形成晶面间距为面，则形成晶面间距为d010/2的的A1， B1， A2， B2，晶面组晶面组应如何标识？应如何标识？A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x答：答：按照以前晶面指数的确定方法按照以前晶面指数的确定方法, (1) A1,B1, A2, B2, 最靠近坐标原点的晶面最靠近坐标原点的晶面
10、 B1在在3个坐标轴上的截距为个坐标轴上的截距为: , , (2) 截距的倒数为截距的倒数为: 0，2，0(3) 将倒数除公因子将倒数除公因子2, 化为最小整数化为最小整数: 0，1，0(4) 加圆括号可表示为加圆括号可表示为:（010）A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x结论：结论：若仅考虑晶面的空间方位，则若仅考虑晶面的空间方位，则A1，B1，A2，B2，与与A1，A2，A3，一样，均以一样，均以晶面指数（晶面指数（010）标识）标识若要考虑二者晶面间距的不同，则分别用若要考虑二者晶面间距的不同，则分别用 (020) 和和 (010) 标识，此即标识，此即干涉指数干涉指
11、数A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x干涉指数：对晶面的空间方位和晶面干涉指数：对晶面的空间方位和晶面间距的标识；间距的标识；晶面指数：仅仅标识了晶面的空间方晶面指数：仅仅标识了晶面的空间方位。位。求晶面指数时求晶面指数时, 要将截距的倒数化为互要将截距的倒数化为互质的整数质的整数;求干涉指数时求干涉指数时, 要将截距的倒数化为整要将截距的倒数化为整数数, 但不必互质。但不必互质。干涉指数和晶面指数的不同：干涉指数和晶面指数的不同：注意：注意：干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的真实原子面，即干涉指数表示的晶面上不一定有真实原子面，即干涉
12、指数表示的晶面上不一定有原子分布，干涉指数概念的建立原子分布，干涉指数概念的建立主要为简化布拉主要为简化布拉格方程，分析衍射。格方程，分析衍射。yzx若将若将(hkl)晶面间距记为晶面间距记为dhkl，则晶面间距为，则晶面间距为dhkl/n 的晶面干涉指数为的晶面干涉指数为(nh nk nl)，记为记为 (HKL) 例：例：晶面间距分别为晶面间距分别为d110/2， d110/3的晶面，其的晶面，其干涉指数分别为干涉指数分别为 (220) 和和(330) 干涉指数与晶面指数的关系干涉指数与晶面指数的关系:hklnhnknldnd1求阵点平面间距：求阵点平面间距：晶轴上的截距晶轴上的截距A： ,
13、b, ；B: ,b/2, 。则截距倒。则截距倒数的互质整数比为数的互质整数比为A：0:1:0; B:0:2:0。阵点平面指。阵点平面指数为数为A(010), B(020)。从原点到平面。从原点到平面A和和B的距离不的距离不同。图上可以看出，同。图上可以看出，A的距离是的距离是B距离的距离的2倍。用倍。用dhkl表示一组阵点平面相邻平面的间距，得对于表示一组阵点平面相邻平面的间距，得对于(nh.nk,nl)的阵点平面的阵点平面abc01002021dd其其阵点平面阵点平面在在间距为间距为2.3.3 三方及六方晶体的四轴坐标系平面指数三方及六方晶体的四轴坐标系平面指数 与前面的阵点直线指数一样。将
14、与前面的阵点直线指数一样。将3次轴或次轴或6次轴选作选次轴选作选c轴，轴，a,b,d轴在同一平面，且垂轴在同一平面，且垂直于直于c轴轴。 这样，阵点平面指数为这样，阵点平面指数为(hkil)，指数，指数h,k,i,l依次指依次指a,b,d,c轴。它们的比值等于：轴。它们的比值等于：rsqphkillikh1:1:1:1)(:p,q,s.r为该阵点平面为该阵点平面(晶面晶面)的标轴系数，依次指的标轴系数，依次指a, b, d, c轴的矢径。轴的矢径。 由于由于a,b,d在同一个平面，利用初等几何学方法可在同一个平面，利用初等几何学方法可以证明：以证明：h+k+i=0，或，或i=-(h+k) h,
15、k,i三个指数只有两个是独立的，即三个指数只有两个是独立的，即h,k,i,l四四个指个指数中只有数中只有3个是独立的。所以，个是独立的。所以，4轴坐标系的效果轴坐标系的效果等同于等同于3轴坐标系。轴坐标系。(下图是三轴和四轴坐标系下图是三轴和四轴坐标系)ab(100)(010)(110)(100)(010)(110)ab(1010)(0110)(1100)(1010)(0110)(1100)d2.3.4 晶带晶带定义定义1：在晶体中如果若干个晶面同时平行于某一：在晶体中如果若干个晶面同时平行于某一轴向时，则这些晶面属于同一晶带，而这个轴向就轴向时，则这些晶面属于同一晶带，而这个轴向就称为晶带轴
16、。立方体的晶带轴指数为称为晶带轴。立方体的晶带轴指数为(001)(010)(100)对一个固定的晶带只能有对一个固定的晶带只能有一个晶带轴。晶带轴足以一个晶带轴。晶带轴足以反映晶带各个晶面在晶体反映晶带各个晶面在晶体上的分布特征。晶带轴指上的分布特征。晶带轴指数被用来表示晶带的指数。数被用来表示晶带的指数。定义定义2：平行于一特殊方：平行于一特殊方向的所有阵点平面的总体，向的所有阵点平面的总体，称为晶带。这一特殊方向称为晶带轴。称为晶带。这一特殊方向称为晶带轴。晶带定律：两个晶带相交的平面必为一可能晶面。晶带定律：两个晶带相交的平面必为一可能晶面。 因为晶带轴为可能晶棱因为晶带轴为可能晶棱点阵
17、直线，两个相交点阵直线，两个相交的点阵直线必定能决定一个阵点平面的点阵直线必定能决定一个阵点平面可能的晶可能的晶面。反之，两个阵点平面（可能晶面）的交线必面。反之，两个阵点平面（可能晶面）的交线必平行于一阵点直线平行于一阵点直线可能晶棱，也就决定了一个可能晶棱，也就决定了一个晶带轴。晶带轴。 由晶带定律可知：属于同一平面带的平面指数由晶带定律可知：属于同一平面带的平面指数(hkl)与该平面带的带轴方向指数与该平面带的带轴方向指数uvw存在如下关存在如下关系：系： hu + kv + lw = 0-晶带定律表达式晶带定律表达式利用晶带定律可以进行如下计算：利用晶带定律可以进行如下计算：1.求晶带
18、轴：已知某一平面带的两个平面指数求晶带轴：已知某一平面带的两个平面指数(h1k1l1)和和(h2k2l2)，则决定该平面带的带轴方向为：，则决定该平面带的带轴方向为：00222111 wlvkuhwlvkuh解联立方程组，得解联立方程组，得 122112211221khkhhlhllklkuvwwvu :用行列式表示用行列式表示 221122112211khkhhlhllklkuvwwvu: 在实际计算过程中，可以将在实际计算过程中，可以将(h1k1l1)和和(h2k2l2)按按上下两排排列，掐头去尾即可上下两排排列，掐头去尾即可212222111121llkhlkkhlkhhuvwwvu :
19、同样，若已知二相交晶带的同样，若已知二相交晶带的u1v1w1和和u2v2w2，利，利用晶带定律表达式，可求得同时属于此二晶带的用晶带定律表达式，可求得同时属于此二晶带的晶面指数晶面指数(khl)，求法与上同。，求法与上同。2. 判断一晶面是否属于某晶带判断一晶面是否属于某晶带例例1: 在正交晶系中，晶面在正交晶系中，晶面(100), (010), (110), (-110), (210), (-210) 是否属于是否属于001晶带？晶带？(210)是是例例3： 求下列几组晶面所处的晶带求下列几组晶面所处的晶带:(123)与与(011), (203)与与(111), (415)与与(110), (112)与与(001) ？答案：答案：公式：公式： 122112211221khkhhlhllklkuvwwvu :;011535123111习题习题1. 辨析点阵与初基单胞、点阵与晶体结构、初辨析点阵与初基单胞、点阵与晶体结构、初基单胞与晶胞的关系。基单胞与晶胞的关系。 2. 分别在简单立方晶胞和面心立方晶胞中标明分别在简单立方晶胞和面心立方晶胞中标明 （001）、（）、（002）和（）和（003）面，并据此回）面，并据此回 答：干涉指数表示的晶面上是否一定有原子答：干涉指数表示的晶面上是否一定有原子 分布？为什么？分布？为什么？
