信号与系统第3章-new

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1、 第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2主要内容:p离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DFSDFS）p离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFTDFT）p抽样抽样z z变换变换频域抽样理论频域抽样理论33.2 傅里叶变换的几种形式傅里叶变换的几种形式 傅里叶变换是建立以傅里叶变换是建立以时间时间t 为自变量的为自变量的“信号信号”与以与以频率频率f 为自变量的为自变量的“频率函数频率函数”（频谱）之间（频谱）之间 的某种变换关系的某种变换关系 。时间时间t频率频率f连续连续 离散离散 连续连续 离散离散 四种不同形式四种不同形式 4四种形式的傅里叶变换四种形式的傅里叶变换（一）针对连续信号（一）

2、针对连续信号 （1）非周期信号非周期信号的傅里叶变换（的傅里叶变换（FT） （2）周期信号周期信号的傅里叶级数（的傅里叶级数（FS）（二）针对离散信号（二）针对离散信号 （3）非周期信号非周期信号的序列的傅里叶变换（的序列的傅里叶变换（DTFT） （4）周期信号周期信号的离散傅里叶级数（的离散傅里叶级数（DFSDFT）5一一、非周期信号的傅里叶变换（、非周期信号的傅里叶变换（FT） dtetxjXtj)()( dejXtxtj)(21)( )( jX时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域的非周期造成频域是连续的谱。时域的非周期造成频域是连续的谱。 6二、周期信

3、号的傅里叶级数（二、周期信号的傅里叶级数（FS）TF 220 k 22001/)()(ppTTtjkpdtetxTjkX ktjkejkXtx00)()(时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数，时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数，频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。 t0k8三、三、非周期信号的非周期信号的序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(DTFT) nnjjenxeX )()( deeXnxnjj)(21)(时域时域频域频域FT连续连续，非周期非周期非周期非周期，连续连续FS连续连续，周期，周期非周期非周期，离散，离散DTFT离散，

4、离散，非周期非周期周期，周期，连续连续三种傅里叶变换的比较：三种傅里叶变换的比较：9 上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算。我们算机上运算。我们感兴趣的是时域及频域都是离散感兴趣的是时域及频域都是离散的情况的情况，这就是离散傅里叶级数（变换）。，这就是离散傅里叶级数（变换）。 根据以上讨论：根据以上讨论： 时域：离散时域：离散 频谱：周期频谱：周期 频域：离散频域：离散 时域：周期时域：周期 因此，因此，DFS必是一种必是一种时域、频谱均为时域、频谱均为离散离散和和周周期期的一种傅里叶变换。的一种傅里叶变换。四、离散傅里叶级数（四、离散傅里

5、叶级数（DFSDFT） 10 四种形式的傅里叶变换对示意图四种形式的傅里叶变换对示意图 113.3 离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（DFS）一、一、 DFS的定义的定义 设设 为周期为为周期为N的周期序列，则其离散傅里的周期序列，则其离散傅里叶级数（叶级数（DFS）变换对为）变换对为:)(nx 10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX 10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnxNjNeW 2 旋转因子旋转因子12一个周期为一个周期为N的周期序列的周期序列可表示为：可表示为：离散周期序列也用离散傅里叶级数表示离散周期序列

6、也用离散傅里叶级数表示，也就是，也就是用周期为用周期为N的复指数序列来表示。的复指数序列来表示。 周期为周期为N的复指数序列的的复指数序列的基频序列基频序列为为 k次谐波次谐波为：为：其其k次谐波也是周期为次谐波也是周期为N的序列：的序列：nNjnjeene)2(10)( knNjkene 2)(knNjnNkNjNkkeenene 2)(2)()()()(kNnxnx k为任意整数为任意整数)(nxtjnnneAtx0)( tje0 基波基波13 离散傅里叶级数，只取下标从离散傅里叶级数，只取下标从0到到N-1的的N个谐波分量个谐波分量就足以表示原来的信号。就足以表示原来的信号。 为为k次谐

7、波的系数。次谐波的系数。 将上式两边同乘将上式两边同乘 ，并从，并从n=0到到N-1求和，得求和，得到：到： 10)2()(1)(NknkNjekXNnx )(kXrnNje 2 1010)(210)2()(1)(NnNkrknNjNnrnNjekXNenx 1010)(21)(NkNnrknNjeNkX ( )( )X rX k为求解这个系数要利用以下性质，即为求解这个系数要利用以下性质，即 其其它它为为整整数数, 0, 1110)2(mmNreNNnrnNj 14 由此得到周期序列的离散傅里叶级数表达式由此得到周期序列的离散傅里叶级数表达式 令令 ，则得到周期序列的离散傅里叶级数，则得到周

8、期序列的离散傅里叶级数（DFS）变换对）变换对 kenxkXNnnkNj102)()( nekXNnxNknkNj102)(1)( 10)()()(NnnkNWnxnxDFSkX 10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFSnxNjNeW/2 正变换正变换反变换反变换152 2、移位特性、移位特性2 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k10 ()()NnkNnDFS x nmx nm W证：1()( )Nmk i mNimx i W inm令10( )( )NmkkimkNNNiWx i WWX k1 1、线性、线性二、二、DFS的性质的性质163 3、周期卷积、

9、周期卷积1210( )()Nmx m x nm12( )( )( )Y kX kXk若若1120( ) ( )( )()Nmy nIDFS Y kx m x nm则则讨论讨论: : 周期卷积与线性卷积周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。只在一周期内进行。( (注意周期信号的线性卷积不存在注意周期信号的线性卷积不存在) )式中的卷积称为式中的卷积称为周期卷积周期卷积1712( )( )( )y nIDFS X kXk证： 11201( )( )NknNkX k Xk WN1112001( )( )NNmkknNNkmx m WXk WN 11()1

10、2001( )( )NNn m kNmkx mXk WN1120( )()Nmx m x nm18142512( )( ) ( )(1)( )6( )( )x nR nxnnR nx nxn例：已知序列，分别将序列以周期为 周期延拓成周期序列和，求两个周期序列的周期卷积和。1120( )( )()Nmy nx m x nm解： 5120( )()mx m x nm1920213.3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFTp在进行在进行DFSDFS分析时，时域、频域序列都是无限分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列长的周期序列p周期序列实际上只有有限个序列值有意义周期序列实际上只有有限个序列值有

11、意义p长度为长度为N N的有限长序列可以看成周期为的有限长序列可以看成周期为N N的周期的周期序列的一个周期（主值序列）序列的一个周期（主值序列）p借助借助DFSDFS变换对，取时域、频域的主值序列可变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换以得到一个新的变换DFTDFT，即，即有限长序列的有限长序列的离散傅里叶变换离散傅里叶变换22 其其它它, 010),()(Nnnxnx)()()(nRnxnxN 或或 rrNnxnx)()(n=0到到N-1的范围称为的范围称为主值区间主值区间。上述两式可分别表示为上述两式可分别表示为 )()()()()(nRnxnxnxnxNN )(nx的第一个