现代控制理论第6章

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1、6.1 6.1 概述概述6.2 6.2 研究最优控制的前提条件研究最优控制的前提条件6.1 3 6.1 3 线性二次型次优控制问线性二次型次优控制问 题题6.12 6.12 线性二次型最优控制问线性二次型最优控制问 题题6.3 6.3 静态最优化问题的解静态最优化问题的解6.10 6.10 双积分系统的时间最优双积分系统的时间最优 控制控制6.11 6.11 动态规划法动态规划法6.9 Bang-Bang6.9 Bang-Bang控制控制6.8 6.8 极小值原理极小值原理6.4 6.4 离散时间系统的最优控离散时间系统的最优控6.5 6.5 离散时间系统最优控制的离散时间系统最优控制的 离散

2、化处理离散化处理6.7 6.7 用变分法求解连续系统最用变分法求解连续系统最 优控制问题优控制问题- -有约束条件有约束条件 的泛函极值的泛函极值6.6 6.6 泛函及其极值泛函及其极值- -变分法变分法61 概述 所谓最优化，原非新鲜概念，人们在从事某项工作时，总是想着采取最合理的方案或措施，以期收到最好的效果，这里就包含着最优化问题。 求解动态最优化问题的方法主要有古典变分法，极小(大)值原理及动态规划法等。 动态最优化问题可以分为确定性和随机性两大类。在确定性问题中，没有随机变量，系统的参数都是确定的。本书只讨论确定性最优控制问题。对连续时问系统对离散时间系统（6）6.2 研究最优控制的

3、前提条件在研究确定性系统的最优控制时，前提条件是：1.给出受控系统的动态描述，即状态方程2.明确控制作用域 在工程实际问题中，控制矢量 往往不能在 空间中任意取值，而必须受到某些物理限制，例如，系统中的控制电压，控制功率不能取得任意大。即 要满足某些约束条件，这时，在 空间中，把所有满足上式的点 的集合，记作：（7）这时，在 空间中，把所有满足上式的点 的集合，记作：(8)U U称为控制集。把满足（9）的 称为容许控制。3明确初始条件 通常，最优控制系统的初始时刻 是给定的。如果初始状态 称固定始端。如果 是任意的，则称自由始端。如果 必须满足某些约束条件：相应的始端集始端集为：此时， 则称为

4、可变始端。4明确终端条件 类似于始端条件，固定终端是指终端时刻 和终端状态 都是给定的。 自由端则是在给定 情况下， 可以任意取值不受限制。可变终端则是指 的情况。其中是由约束条件 所形成的一个目标集目标集。5给出目标泛函，即性能指标对连续时间系统，一般表示为：对离散时间系统，一般表示为： 上述形式的性能指标，称为综合型或鲍尔扎型综合型或鲍尔扎型。它由两部分组成，等式右边第一项反映对终端性能的要求，例如对目标的允许偏差、脱靶情况等，称为终端指标函数；第二项中L L为状态控制过程中对动态品质及能量或燃料消耗的要求等，称为动态指标函数。若不考虑终端指标函数项 则有： 这种形式的性能指标称为积分型或

5、拉格朗日型。若不考虑动态指标函数项， 则形如：称为终端型终端型或梅耶型梅耶型。6.3 静态最优化问题的解 静态最优化问题的目标函数是一个多元普通函数，其最优解可以通过古典微分法对普通函数求极值的途径解决。动态最优化问题的目标函数是一个泛函数，确定其最优解要涉及古典变分法求泛函极值的问题。6.3.1 一元函数的极值 设 为定义在闭区间 上的实值连续可做函数，则存在极值点 的必要条件是：（21）为极小值点充要条件是：为极大值点充要条件是： 因为 的极小值和 的极大值等效，所以今后所有推导和结论，均以圾小化为准。6.3.2 多元函数的极值 设 元函数 这里 为 维列向量。它取极值的必要条件是：至于取

6、极小值的充要条件，尚需满足：或函数的梯度为零矢量。即下列海赛矩阵为正定矩阵。6.3.3 具有等式约束条件的极值 上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。对于具有等式约束条件的极值问题，则要通过等效变换，化为无约束条件的极值问题来求解。设罐头桶的几何尺寸：高为 半径为 则容积为：（29）给定铁皮面积A=常量。要使罐头桶容积为最大，必然要受条件：（30）的约束： 解此类问题的方法有多种，如嵌入法嵌入法(消元法)和拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法(增元法)等。1.嵌入法 先从约束条件式(30) 解出一个变量，例如 等，然后代入目标函数式(29)得：(31)这样就变成一个没有约束条件的函数式。显然，式(3

7、1)取极值的条件为：可解出极值点： 又因为 故上述极值点为极大值点。罐头桶的最大容积为：2.拉格朗日乘子法6.4 离散时间系统的最优控6.4.1 基本形式 6.4.2 具有二次型性能指标的线性系统65 离散时间系统最优控制的离散化处理式中， 为终端代价函数，假定 是自由终端。最优控制问题是在式(73)约束条件下，寻求 使式(74)为最小。 设系统状态方程为：（73）目标函数为：（74）6.6 泛函及其极值变分法6.6.1 变分法的基本概念1泛函 变分法是研究泛函极值问题的数学工具。什么叫泛函呢?通俗地说，泛函就是函数的函数。它是普通函数概念的一种扩充。2.泛函的极值3.泛函的变分4泛函极值定理