第2章 单自由度系统的振动(2)

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1、VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS2.4简谐激励下的无阻尼强迫振动一、运动微分方程及其解动力平衡方程为:11( )0myk yF t若干扰力为简谐荷载：( )sinF tFt2sinFyytm则动力方程为：化为标准形式:本节讨论简谐激励作用下无阻尼系统的强迫振动。外界的激励有两类，一是持续的激励力；一类是持续的支座运动。激励可能是周期的也可能是非周期的。VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS该方程为二阶常系数线性非齐次方程，其通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的任意一个特解。现在寻找非齐次方程的特解，设其一个特解为齐次方程的通解在前面讨论过，即为12( )cos

2、()siny tCtCt*( )siny tAt代入微分方程，有22sinsinsinFAtAttm解得st222222111FFAymm其中st211FFymk激励力幅值引起的静位移激励力频率与固有频率之比，也称为无量纲化的激励力频率VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS则非齐次方程的通解为*12st21( )( )cos()sinsin1y ty tyCtCtyt假设初始条件为00(0),(0)yyyy令解满足初始条件，可以确定积分常数0102st2=,=1yCyCy故运动微分方程的通解为00st21( )cos()sin(sinsin)1yy tyttytt第三项：纯强迫振

3、动，稳态受迫振动前两项：初始条件决定的自由振动，初始自由振动第四项：伴随激励力而产生的自由振动，伴随自由振动可以看到，即使初始条件为零，仍然有伴随自由振动发生VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMStAtysin)(实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分很快会衰减掉，过渡阶段很短，很快就只剩下了稳态的强迫振动部分，因而这一部分应引起格外关注稳态解为22()FAm22211stFym-稳态振幅112stFyFm静位移2221111/位移动力系数动力系数的性质：无量纲；只与激励力频率和固有频率的比值有关，与其它因素无关；其值可大于或小于1、可正可负，正号表示位移与激励的相位差为零（同步）

4、，负号表示位移落后激励力的相位差为180度（反拍）。VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS二、幅频响应曲线和振动特征重要的特性：当/0时, 1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当0 / 1，并且随/的增大而增大。1023123当/ 1时, 。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75 / 1时, 的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应, 0 。VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS必须指出，上述的幅频响应曲线只是振动系统稳态运动的情形，亦即激励力频率固定在某一值相当时间使振动达到稳定以后的情况。上述共振时振

5、幅在理论上将趋向无穷大，实际上是不可能的，因为：实际系统不可能完全没有阻尼，而只要有极微小的阻尼就足以限制振幅的无限扩大；sinyAtsinyBtt,BVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS22cossinyBtBttyy 和2sinFyytm整理后得2coscossinsinsinFBtttm22FBmsincos222FtFtyttmm( )y t2F tm2F tmVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS三、“拍”的现象现在，我们来关注一下强迫振动的过渡阶段，为简单起见，假设初始条件均为零，此时，系统在过渡阶段响应总和为stst2221( )(sinsin)(s

6、insin)1()Fy tyttyttm当激励力的频率与系统的固有频率接近时，设2为小量 则222222( )(sinsin)()sinsinsinsin()22cossin2 sincos()22sincos2Fy tttmFttttmFttttmFttm VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS上式可以看作是振幅按sin2Ftm逐渐变化，频率为的简谐振动，其振动的曲线如图所示( )y t2sinFttm2sinFttm2Ftm2这种特殊的振动现象称作是“拍”/ 拍的周期为拍的周期很长，因此实际振动的振幅变化较慢。在实验过程中，很慢地调频到接近共振时，系统的振幅会出现周期性忽大忽

7、小的变化，就是因为产生拍的现象。0sinlim1tt由于 故 ( )sincoscos22FFty ttttmm也得到了振幅随时间线性增大的结论，并说明了共振的建立过程。VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMSEIPlllPlEIyst34856522211解:5 .0例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知tPsinEIl/2l/2)(tyAm2A34/1122EIPlyAst3365sty=1112/Pll四、结构最大位移和内力计算因为tAtysin)(tAtysin)(2 2( )sinIF tmAt( )sinF tFt可以看到:干扰力与惯性力同频同步变化,故只需要将干扰力幅

8、值和惯性力幅值同时加在结构上,此时产生的内力即最大内力.VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS22Imax11144AFmAmAP485PP485Pl965Pl4829解: :例:求图示体系右端的质点振幅tPsinlkEIll109emm49ekk若选右端质点竖向位移为广义坐标，其等效质量和刚度为410eekkmm固有频率为VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS动力系数222121/25kkm 34stPyk静力位移振幅22233254410stkPPAykmkkm 0oMkmPA41032也可以直接根据平衡方程来求AP2mA231mAAk32o因为此时，惯性力和外

9、荷载同步，只需要把最大惯性力、最大弹性力和最大荷载幅值同时加在结构上，如图VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS解: :例:求图示体系弹簧支座的最大动反力。sinqtkEIll/23mABCD系统一定和干扰力作同步简谐振动。设A点振幅为A，则当振幅最大时，将系统中的最大干扰力、最大惯性力以及最大弹性力同时加在结构中，然后由0BM 223 3332022 432ll lmlmAqAk Al2916()qlAkm得于是，弹簧的最大反力为max2928(1/ )RqlFk AmkVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS例:求图示体系质点处的振幅、 B点动力位移幅值，并绘制最

10、大动力弯矩图。已知sinFtEIl/2l/236EIml3111 112 2 2 324llllEIEI解:34/11223max12536CFlyFEI1F l/21M图1F l2M 图3121 1552 2 2 648lllFEIEI311124EImml32Imaxmax3655366CEIFlFmymFmlEIFmaxM图56F/2Fl17 /12Fl3max2max121288BMMFlyEIEIVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS可见，二者的合力相当于将激励力乘了一个位移动力系数，此时，可直接将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 若动荷载作用于质点运动方向

11、时(激励力与惯性力方向一致)，二者的合力222222222111111( )( )sinsinsinsinsinsinsinsinIF tF tmAtFtmAFtFmFtFtmFtFtFtVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS计算步骤: 1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2.计算动力系数； 3.将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值。 例 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知5 . 0sinFt1EIEIEIFPl/4解. 31124lEIk31124stFFlykEI34/11223118stFlAyEIPl/3动弯矩幅值图VIBRATIONS O

12、F SDOF SYSTEMS例：已知m=300kg，I=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsint2m解：1)求3333121 15482 248192192llllEIkEIEIEI1316.13451921smlEIm2)求动力放大系数2211.55213333max551.552 20 105 45.75 10 m192192 90 10lyPPEI 3)求ymax， Mmaxmax11()1.552 20 431.04kN.m44MP lVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS2m2m例题4

13、10=205.8GPa, =245cm , =100 kg, =40kg , =500/=0.4 mmEImmNe简支梁由号工字钢做成，动力机械质量旋转部分质量转速转 分，质心偏心距。不计梁自重，不计阻尼，求梁中点的振幅。1p 1图图1M解： m/N6112124(1 2)2.64 10233EIEI 6111161.5 1/s100 264 10md22340 (52.3)0.4 1043.76NPme64113.613 2.64 1043.764.17 10sAyPm 2500252.3 1/s6060N2222113.6131/1 52.3 /61.5VIBRATIONS OF SDOF

14、 SYSTEMS2.5简谐激励下的有阻尼强迫振动一、动力方程及其解设11sinmycykyFt或22sinFyyytm通解)()()(*tytyty12( )(sincos)tddy tectcttDtDtysincos)(21*12222222()4FDm 222222222()4FDm )sin()(*tAty222221(1)4FAm /22tan1代入动力方程得于是得到非齐次方程的一个特解VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS1d2d( )(sincos)sin()ty tectctAt00)0()0(yyyy若初始条件为代入一般解,可确定待定系数.方程的通解即可写为00

15、1dsincosyyAAc20sincyA故微分方程的解可写为00d0ddddd( )sincossincossinsincossin()ttyyy tetytAettAtVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS1122( )sin()sin() sin()ttddy tAetA etAt0100tandyyy220010()dyyAy222222tan2(-)d 其中22222222222(2)2()(-)(2)ddFAm 也可写为初始条件自由振动伴随自由振动纯受迫振动1122( )sin()sin() sin()ttddy tAetA etAtVIBRATIONS OF SDO

16、F SYSTEMS平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。很明显，振动开始三种振动同时存在，但无论是初始自由振动还是伴随自由振动，都含有一个负指数幂因子，随着时间的延伸，必定会衰减掉，最后只剩下稳态的强迫振动，从而，在而达到平稳阶段。( )sin()y tAtstAy/22tan122221(1)4 2stFymVIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS线性系统对简谐激励的稳态响应是:频率等同于激励力频率而相位滞后于激励力的简谐振动.稳态响应的振幅和相位只取决于系统本身的参数和激励力的频率与力幅,而与系统的初始条件无关.如果以动力系数为纵坐标、以无量纲频率为横坐标画出的曲线称为幅频特性

17、曲线二、稳态响应的特征( ) VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS当1,/0即时222211(1)4 1,即时222210(1)4 当此时系统的振幅很小，质点在平衡位置作微幅颤动1,即时2222112(1)4 当此时系统的振幅急剧增大，若不考虑阻尼，其振幅将会是无穷大，即出现共振现象响应的振幅与静移相当，接近静荷载情况。11和在以上两个区域VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS此时动力系数受阻尼影响非常显著，在0.75 / T/2最大动位移发生在阶段ysty(t)t023T最大动反应)cos1 ()(tytyststyy2max2）当tT/2最大动位移发生在阶段2

18、11( )2sinsin()22sttty tyt1max2sin2sttyy12sin2t1tT1/611/22动力系数反应谱(与T和u之间的关系曲线)VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS例例011sin(0)( )0() FtttF ttt 求系统的响应。1(0, )t半正弦脉冲激励力作用设无阻尼质量弹簧系统在时间内受到0F()Ftt1t1/ t 解代入杜哈梅积分0000221( )( )sin()d1sinsin()d(sinsin)() ttx tFtmFtmFttk 10tt 时VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS在1tt时100001111221( )( )sin()d1sinsin()d2cossincossin()2222 ttx tFtmFtmFttttttk 二、任意支座运动激励的响应假设有阻尼的单自由度系统的支座发生运动，其运动是时间的任意函数( )sx t系统的运动方程为0()()ssmxc xxk xxssmxcxkxcxkx即VIBRATIONS OF SDOF SYSTEMS故系统在零初值条件下的响应同样可以由杜哈梅积分求得()d0d1( )( )( )sin( - )dttssx tcxkxetmkm利用2cm该式还可以写成2()d0d1( )2( )( )sin( - )dttssx txxet