结构力学课件：第九章《渐近法》.

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1、12第九章第九章 渐近法渐近法91 引 言92 力矩分配法的基本原理93 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架92 力矩分配法的基本原理92 力矩分配法的基本原理391 引 言 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。 这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆

2、端弯矩。在结构设计中被广泛采用。492 力矩分配法的基本原理 力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.劲度系数、传递系数 劲度系数(转动刚度)Sij 定义如下：当杆件AB的A端转动单位角时，A端(又称近端)的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB表示。它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度。 则劲度系数与杆件的远端支承情况有关，由转角位移方程知 远端固定时： ABEIL1MAB=4iMBAABEI1MAB=3iSAB=MAB=4i远端铰支时：SAB=MAB=3iSAB=3iAB1远端滑动支撑时：EIMAB=iMB

3、ASAB=MAB=iSAB=i远端自由时：AB1MAB=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i5(2) 传递系数CijABEIL1MAB=4iABEI1MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB1EIMAB=iMBA=-iSAB=MAB=iAB1MABEISAB=MAB=0 当近端A转动时，另一端B(远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数传递系数，用CAB表示。即ABBAABMMC或 MBA=CABMAB远端固定时：CAB=0.5远端铰支时：CAB=0远端滑动支撑： CAB=1由右图或表(10

4、1)可得MBA=2i62. 力矩分配法的基本原理现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。1234qP(a)1234(b)MP图F21MF12MF14MF41M 图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角Z1，其典型方程为r11Z1+R1P=0绘出MP图（图b),可求得自由项为R1P=Fj1F14F13F12MMMMR1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等于结点1的杆端固端弯矩的代数和Fj1M，即各固端弯矩所不平衡的差值，称为结点上的不平衡力矩不平衡力矩。R1P1F12MF13MF14MR1P7r11=式中S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和。12

5、34(c)1M图1Z12i124i123i13i141M绘出结构的图（见图c)， 计算系数为：解典型方程得Z1=11P1rR 然后可按叠加法 11ZMMMP计算各杆端的最后弯j1Fj1SM矩。4i12+3i13+i14= S12+S13+S14= S1j8M12=F12MM13=)M(SSMFj1j113F13M14=)M(SSMFj1j114F14以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，因此称为分配弯矩，12 、13 、 14等称为分配系数分配系数，其计算公式为1j=j1j1SS(91)结点

6、1的各近端弯矩为：F12M)M(MFj113F13)M(MFj114F14)M(Fj1j112SS)M(Fj11291j =j1j1SS(91)显然，同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即 1j =1 。各远端弯矩如下M21=F21MM31=)M(CMFj11313F31M41=)M(CMFj11414F41各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩传递弯矩。)M(Fj11212CF21M)M(Fj1j11212SSC10得出上述规律后，便可不必绘 MP、 图，也不必列出典1M 型方程，而直接按

7、以上结论计算各杆端弯矩。其 过程分为两步：(1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。(2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩。11例 91 试用力矩分配法作刚架的弯矩图。ABCD30kN/m50kN(a)解：(1)计算各杆端分配系数AB=445. 0942131414AC=333. 093AD=222. 092AB=0.445AC=

8、0.333AD=0.222(2)计算固端弯矩据表(101）FBAMFABMFADMFADMEI2EIEI4m2m2m4mmkN4012430212qL2=mkN40124302+12qL2=mkN7584503+83PL=mkN2584508PL=mkN40MFBAmkN40MFABmkN75MFADmkN25MFDA(3)进行力矩的分配和传递结点A的不平衡力矩为FAjMmkN357540ACD杆 端ABACADBACADA0.445 0.3330.222分配系数固端弯矩-40+40075-250-35-35分配弯矩 +15.5 +11.7+7.8+7.80-7.8-32.2+55.5最后弯矩

9、+11.7-67.2-32.80B55.56011.767.232.8 M图图(kN.m)(b)32.2(4)计算杆端最后弯矩并作矩图。+35+351293 用力矩分配法计算连续梁 对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。13例92 用力矩分配法计算图示连续梁。012325kN/m400kN25kN/m解

10、： 固定1 2 结点。列表计 算如下:12m6m6m12m分配系数10=50i 4i 4i 412=50i 4i 4i 421=5710i 3i 4i 423=4290i 3i 4i 3固端弯矩MFmkN300121225M2F01-300mkN300121225M2F10+300mkN600812400MF12-600mkN600812400MF21+600-300-300mkN45081225M2F23-4500MF320+150+150结点1分配传递+150+150 +150+150+75+75+75+75结点2分配传递-129-129 -96-96-64-640结点1分配传递+32+3

11、2 +32+32+16+16+16+16结点2分配传递-9-9 -7-7-5-500.50.50.50.50.5710.571 0.4290.429结点1分配传递+2+2 +3+3+1+1+1+1结点2分配传递-1-10最后弯矩最后弯矩M-208-208+484+484 -484-484+553+553 -553-5530EIEIEI+225+225-225-22514例93 用力矩分配法计算图示连续梁。1.5kN/m8kN4kN5m8m3m5m5m1.5kN/m8kN4kN4kNm 0.375 0.6250.5 0.50.3750.625MF0+4.69 -8+8 -9.38+5.62 +2