第3章傅里叶级数

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1、本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心l卷积方法的基本出发点是，将信号分解为单位冲激信号的移位加权和或者加权积分。l我们可以看出，将任意信号分解为基本信号的组合，往往是分析信号与系统的前提。l本章将介绍信号的另一种分解方式，即傅里叶分解，并且进而引入频谱的概念。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心前面两章中，我们以分析信号的时间函数的方式，来分析信号，这种分析方法被称为时域(time domain)方法。傅里叶方法帮助我们使用信号的频率分量来分析信号，这种方法被称为频域(frequency domain)方法。我们将看到，在频域上来刻画LTI系统对信号

2、实施的变换，将会使分析变得相当简单。频域方法是一类重要的系统与信号的分析方法，除用于LTI系统的分析以外，它还适用于更广泛的系统分析，或者仅仅分析信号本身。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心傅里叶分解的基本出发点是将信号分解为复指数信号的加权和，或者积分。复指数信号的物理背景就是正弦信号。在电路分析等课程中，我们对正弦信号已经有了足够的了解。人们很早就意识到，正弦振荡是各种振荡的基本形式，这正是傅里叶分解的真正基础。傅里叶分析帮助我们从时域的分析方法转变到频域的分析方法。工程上，频域方法具有更加广泛的应用，是一种常用的信号分析方法。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂

3、网-下载中心下载中心在介绍周期信号的傅里叶分解之前，我们先讨论一下LTI系统对典型正弦信号和复指数信号的响应。在电路分析里面，我们知道线性时不变系统在正弦信号的激励下，其响应仍然是同频率的正弦信号，只是在幅度和相位上有所变化。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 LTILTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号)cos(t)cos(tA同频率本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心复指数信号激励复指数信号激励LTI系统的情况。系统的情况。stethty*)()(dehts)()(dehesst)()(sHestdt

4、ethsHst)()(ste LTI ?只取决于s和系统的参数本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 LTI LTI系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号ste)(sHest系统函数系统函数传递函数传递函数本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心tskkeatx )(如果我们能将信号分解成为复指数信号的加权和tskkkesHaty)()(完全说明了LTI系统的变换规律 可以针对输入信号的复指数分解可以针对输入信号的复指数分解,求得求得LTI系统的输出响应。系统的输出响应。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载

5、中心下载中心js js在傅里叶分析里面，我们将上述复数在傅里叶分析里面，我们将上述复数s限定为纯虚数限定为纯虚数由此导出的方法称为由此导出的方法称为傅里叶傅里叶(Fourier)方法方法；傅里叶傅里叶方法是以法国数学家方法是以法国数学家, 物理学家傅里叶物理学家傅里叶(1768-1830)的名字命名的。的名字命名的。 由此导出的一套方法称为由此导出的一套方法称为拉普拉斯方法拉普拉斯方法，在第九章，在第九章里面讨论。里面讨论。如果不对复数如果不对复数s进行限定，即进行限定，即本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心),(

6、Zktk3.2.1 谐波复指数信号集谐波复指数信号集tjkket0)(成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心0T)(txktjkkeatx0)(002T如果一个以如果一个以为周期的周期信号为周期的周期信号满足，满足，存在一个存在一个傅里叶级数的表达傅里叶级数的表达本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ktjkkeatx0)(。 傅里叶级数傅里叶级数 分解分解傅里叶级数展开傅里叶级数展开本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心tjkkea0tjkkea00atjea01tjea01k次谐波分

7、量次谐波分量直流分量直流分量基波分量基波分量谐波合成谐波合成在信号中所占的比重在信号中所占的比重ktjkkeatx0)(本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心tjtejtsincos 2cosjtjteet2sinjtjteet欧拉公式欧拉公式本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心例题3.1 将下面的复指数信号的线性组合变换为正弦信号的线性组合，其中，332)(ktjkkeatx10a4/111aa2/122aa3/133aa本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)(31)(21)(411)(664422tjtjtjtjtjtjeee

8、eeetxttt6cos324cos2cos211解：解： 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心kaka0k和和表示了频率为表示了频率为的正弦信号的权重。的正弦信号的权重。ttt6cos324cos2cos211直流分量直流分量基波分量基波分量三次谐波分量三次谐波分量 二次谐波分量二次谐波分量本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心物理上存在的信号都是实信号。物理上存在的信号都是实信号。下面讨论信号为实函数的情况。下面讨论信号为实函数的情况。)()(txtxktjkkeatx0*)(ktjkkea0*ktjkkea0本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂

9、网-下载中心下载中心kkaa*kkaa*因此，因此， 严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心ktjkkeatx0)(11000ktjkkktjkkeaeaa10)(00ktjkktjkkeaeaa11000ktjkkktjkkeaeaa本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心10)(00ktjkktjkkeaeaa10Re20ktjkkeaa10)(00ktjkktjkkeaeaa本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心kjkkeAa100)cos

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11、疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心,0Zketjk正交函数集？正交函数集？002T?000nkMdteeTtjntjk本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心)()(Ttxtx周期函数的一个基本性质。周期函数的一个基本性质。aTadttx)(aTTTadttxdttx)()(aTadttxdttx0)()(Tdttx0)(TamTaa000 ,本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心一个以一个以T为周期的周期函数在一段长度为为周期的周期函数在一段长度为T的区的区间上的积分，与起始位置无关间上的积分，与起始位置无关Tdttx)(本书由天疯天疯上