第一节复数项级数

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1、一、复数列的极限二、级数的概念第一节 复数项级数三、典型例题四、小结与思考2一、复数列的极限1.1.定义定义 , 0 数数相应地都能找到一个正相应地都能找到一个正如果任意给定如果任意给定 0( ), , nNzznN使在时成立0 z , nzn那 末称 为 复 数 列当时 的 极 限记作记作0lim.nnzz0 . nzz此时也称复数列收敛于 (1,2,) , nzn 设为一复数列 其中,nnnzxiy000 , zxiy又 设为 一 确 定 的 复 数32.复数列收敛的条件复数列收敛的条件0 (1,2, ) nznz复 数 列收 敛 于 的 充 要 条 件 是00lim,lim.nnnnxx

2、yy定理说明定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.4课堂练习课堂练习: :下列数列是否收敛下列数列是否收敛? 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2innenz 5二、级数的概念1.1.定义定义 (1,2,),nnnzxiyn设为一复数列121nnnzzzz表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和12nnszzz称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和6收敛与发散收敛与发散,收收敛敛如如果果部部分分和和数数列

3、列ns1, nnz那末级数收敛.lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn 说明说明:.lim ssnn 利用极限利用极限 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不不收收敛敛如如果果部部分分和和数数列列ns1. nnz那末级数发散7:,0 nnz级级数数例例如如1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时时级级数数收收敛敛所所以以当当 z82.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为12nnszzz1212()()nnxxxi yy

4、y,nni 11 () nnnnnzxiy 级 数收 敛 的 充 要 条 件11 . nnnnxy和都收敛定理二定理二911 . nnnnxy于是 级数和都收敛 : 极限存在的充要条件极限存在的充要条件根据根据ns , 的极限存在的极限存在和和nn 说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二定理二)10 )1(1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin解解111 ;nnnxn因为发散2111 . nnnyn收敛所以原级数发散所以原级数发散. 课堂练习课堂练习11lim0nnz必要条件必要条件重要结论重要结论:1lim0.nnnnzz级