第五章信号处理中的一些非线性问题

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1、第五章第五章 信号处理中的一些非线性问题信号处理中的一些非线性问题 通常，一个信号由不同的成分构成，而且构成的方式也不尽相同。例如它可以是真实信号 和噪声 相加而成5-1 同态滤波同态滤波svxsv（5-1-1） 或者更广一些，如3-3-3中所讨论的线性模型：xHsv（5-1-2）也可以是如例3-5-1（回声干扰）所示的卷积形式：*xs v（5-1-3）还可以是乘积形式：xsv（5-1-4）如此等等。对于线性模型（5-1-1）和（5-1-2），可用通常的线性估计的方法来进行滤波。对于模型（5-1-3）和（5-1-4），由于是非线性的，故需用特殊的方法来消除噪声。例如第三章中的最小二乘滤波和第四

2、章的维纳滤波都可用来恢复式（5-1-3）中的 。s本节介绍的同态滤波方法，对于模型（5-1-3）和（5-1-4）都是适用的，而且对于不同的成分可以起到分别处理的作用。在做精确描述之前，我们先简述同态滤波的思想方法。 以乘积模型（5-1-4）为例，考虑到对数能将乘积转换成相加，从而成为线性模型，于是可按照图5-1-1所示的过程进行滤波，其中 和 为根据需要而选取的参数。光学原理告诉我们，一幅图像（离散的）其亮度函数 可表示为 ( , )( , )( , )irg m nx m n x m n（5-1-5）( , )g m n其中 称为照明成分， 称为反射成分，它们都是取正值的函数。实验表明，照明

3、成分 主要由图像 的低频成分组成，它反映图像亮度的动态范围。反射成分 主要由图像 的高频成分组成，它反映画面上物象边缘的突变部分。若将此 输入到图5-1-1所示的乘积同态系统，则相应的输出为( , )ix m n( , )rx m nixgrxg( , )g m n( , )( , )( , )iry m nxm n xm n（5-1-6）当参数 ， 取得满足 ， 时，该乘积同态系统的滤波效果是： 11既使照明成分压缩，又使反射成分增强。由此可见，此种滤波方法可以同时对照明成分和反射成分分别进行不同的处理。 lnLexpx svlnlnlnxsvlnlnysvy sv 图5-1-1 乘积同态系

4、统一些代数概念 为了确切的叙述同态滤波，需要引进一些简单的代数概念，它们属于抽象代数的范畴。设 为一给定的非空集合，如果对 中任意两个元素 和 所构成有序对XX1x2x 都有 中的元素 与之对应，便称在 中定义了一种运算。若该运算定义为普通的加法，则 ； 。若该运算定义为普通的乘法，则 ， 。如果记该运算为 ，则可以写成 。例如对于普通加法， ；对于普通乘法， ， 。在抽象代数中，如果在一个集合中定义一种（或几种）运算，且这些运算满足一定的运算规律，则常称此集合为一个代数，例如线性空间、群、环、域布尔代数等都是代数。 X3xX(2,3)5(3,4.5)7.5(2,3)6(3,4.5)13.51

5、23xxx2 353 4.57.52 363 4.513.512( ,)x x 设 和 为两个非空集合。如果对于 中的每一个元素 均有一个确定的规则使得 中有一个元素 与之对应，则称这种对应关系定义了一个从 到 的一个映射。若记此映射为 ，则 和 对应关系记为 ，如果对于 中的任意元素 ，在 中至少有一个元素 与之对应：，则称映射 是满射。 XYXxYyXYxyyx YyXxxy 现有集合 和 分别定义有运算 和 。如果从 到 的映射 都是满射，而且对于任意的 均有等式XYXY12,x xX1212()()()xxxx （5-1-7） 则称 是 从 到的同态映射。XY 在信号与系统的分析中，通

6、常涉及的是系统 的输入信号的集合 和输出信号的集合 。如果这时 是从 到 的同态映射，则称为同态系统，并记为 。XYXY, XY例例 5-1-1 设 是双边无穷序列，其傅里叶频谱 存在。这样的序列全体为 。 中的运算定义为序列卷积。定义集合 ，其中的运算定义为普通的函数相乘， ( )xx n()( )jwjnwnx ex n e（5-1-8）XX (),jwYx exX则映射 是同态映射，因为根据卷积定理有 从而 是个同态系统。()jwxx e 1212(*)()()xxxx （5-1-9） 显然，对于卷积定理成立的变换（离散和连续的傅里叶变换、z变换等）都可以导致类似的同态系统。 , XY广

7、义线性映射 对于如模型（5-1-3）所示的卷积型信号，易知可通过傅里叶变换或z变换环节，这样做就把卷积化成乘积。相应的滤波系统如图5-1-2所示，它称为卷积同态滤波系统，其中，线性环节 之前有三个环节： ， ， 。 表示傅里叶变换。输入信号为傅里叶频谱存在的信号序列。记这种序列的全体为 。其中的广义加法为卷积，关于数乘，当 为自然数时， 即连续 次卷积，当 不是自然数时， 。于是卷积同态系统的特征系统 由 ， ， 串联而成，它是广义线性LFln1FFX*xxx1()jwxFxe*DFln1F（当然 也是）映射。卷积同态系统常用于语音处理，消除回波干扰等。1*D 在实际中，卷积同态系统的线性环节

8、常取做如下形式：其中 为序列。显然这是普通的线性映射，根据的取值情况，又可将分为以下几类： LFexpFln ( )x n* xx ( )x n( )y n yy ( )y n图5-1-2 卷积同态滤波系统 ( ) ( ) ( )L x nn x n ( )n1.低通2.高通3.带通4.点阻5.梳状1,( )0,nNnnN0,( )1,nNnnN1,( )0,MnNn其他 0,0, 1, 2,( )1,knN kn 其他 0,0,1,2,3,4,5,( ),0,1,2,1,kknNkmnnNm mn kn 其他 5-2 台劳展开的应用台劳展开的应用推广的卡尔曼滤波 这一小节研究非线性卡尔曼滤波

9、。设非线性系统的动态方程和观测方程为1xfx(x )wkkkkkk（ ）+yhxvkkkk（ ）（5-2-1）（ 5-2-2）其中 为 时刻的状态向量（n维）， 为 时刻的系统噪声（p维）， 为 干扰矩阵， 为观测向量（m维）， 为观测噪声。如4-7中那样，假定 和 都是零均值的白噪声。xkkwkkknpykvkwkvk这里非线性是指状态向量而言的。 现在假定 是差分方程 *xk1xfxkkk （）（ 5-2-3）的解，即1*xfxkkk （）（ 5-2-4）将 和 按 作台劳展开fkhk*xk*fxfxfx (xx )kkkkkkkk（ ） （ ）+（ ）（ 5-2-5）*hxhxhx (x