第三章 稳态导热分析

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1、 本节将针对本节将针对一维一维、稳态稳态、常物性常物性、无内热源无内热源情况，考察情况，考察平平板板、圆柱圆柱及及球壁球壁内的导热。内的导热。导热微分方程：导热微分方程：022xdtd0drdtrdrdi通式：通式：i i=0,1,2=0,1,2分别代表直角坐标系、柱坐标系、球坐标系。分别代表直角坐标系、柱坐标系、球坐标系。 一、平壁一维导热分析一、平壁一维导热分析 一维一维 & & 稳态稳态 & & 无内热源的拉普拉斯方程：无内热源的拉普拉斯方程：022dxtd积分得：积分得： Cdxdt付立叶定律：付立叶定律： /qdxdtdx/dtq相当于相当于C=-C=

2、-q q/ /a a几何条件：单层平板；几何条件：单层平板； b b物理条件：物理条件： 、c c、 已知；已知；无内热源无内热源c c时间条件：稳态导热时间条件：稳态导热 0 td d边界条件：边界条件： 21,;, 0ttxttx直接积分，得：直接积分，得：211 cxctcdxdt带入边界条件：带入边界条件：12121tcttc022dxtd)(dd1212112Attttqttxttxttt带入带入Fourier 定律定律/ tq/与欧姆定律相比：与欧姆定律相比：R/VI 称为称为。热阻分析法适用于热阻分析法适用于一维一维、稳态稳态、无内热源无内热源的情况的情况q1wt2wt导热热阻的

3、图示导热热阻的图示左侧对流换热量：左侧对流换热量：, 0 x)(1110ttdxdtqfx右侧对流换热量：右侧对流换热量：,x)(222fxttdxdtq平壁内导热量：平壁内导热量： 12ttq牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：)(fwttq111/qttf222/qttf连立求解上述三式得：连立求解上述三式得：)11/()(2121ffttqxtttt211平壁内温度分布：平壁内温度分布：211 cxctcdxdt1, 0ttx2,ttx与与“第一类边界条件第一类边界条件”平壁内温度分布平壁内温度分布有何不同？有何不同？n多层平壁：由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成n例：房屋的墙壁例：

4、房屋的墙壁 白灰内层、水泥白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成n假设各层之间接触良好，可以近似地认假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等为接合面上各处的温度相等v 边界条件：边界条件：1110nniittxttxv 热阻：热阻：nnnrr,111多层平壁稳态导热：多层平壁稳态导热：t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热123由热阻分析法：由热阻分析法：niiinniinttrttq111111问：现在已经知道了问：现在已经知道了q ，如何计算其中第，如何计算其中第 i i 层的右侧壁温？层的右侧壁温？第

5、一层：第一层： 11122111)(qttttq第二层：第二层：22233222)(qttttq第第 i 层：层： iiiiiiiiqttttq111)(多种材料多层复合平壁：多种材料多层复合平壁：（P98）(1) 串联电路各电阻上的电流相等且等于总电流串联电路各电阻上的电流相等且等于总电流串联热路各热阻上的热流相等且等于总热流串联热路各热阻上的热流相等且等于总热流(2) 并联电路各电阻上的电流相加等于总电流并联电路各电阻上的电流相加等于总电流 并联热路各热阻上的热流相加等于总热流并联热路各热阻上的热流相加等于总热流 强调：复合型多层平壁的导热问题，必须采用强调：复合型多层平壁的导热问题，必须

6、采用热流量热流量进行计算，因为进行计算，因为、和和三种材料的导热系数不同，故通过的热流密度是不同的。三种材料的导热系数不同，故通过的热流密度是不同的。2112111niiiffttq2mW 单位：单位：换热系数？换热系数？tf1t2t3tf2t1t2t3t2三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热a1a2tf2tf1a1a2123二、通过圆筒壁的导热分析二、通过圆筒壁的导热分析 特指：特指：无限长的圆筒壁、长度远大于直径的圆筒壁，两端绝无限长的圆筒壁、长度远大于直径的圆筒壁，两端绝热的圆筒壁。热的圆筒壁。0drdtrdrd0122drdtrdrtd1.1.第一类边界条件下的圆筒壁导热分析第一类边界

7、条件下的圆筒壁导热分析边界条件：边界条件：2211wwttrrttrr时时0drdtrdrd对对积分两次：积分两次：211ln crctcdrdtr22122111ln ;lncrctcrctww第一次积分第一次积分第二次积分第二次积分应用边界条件应用边界条件)ln(ln)( ;)ln(121121212121rrrtttcrrttcwwwww获得两个系数获得两个系数)ln()ln( 112121rrrrttttwww将系数带入第二次积分结果将系数带入第二次积分结果由上式可知由上式可知：（1）温度呈温度呈对数曲线对数曲线分布。分布。（2）温度分布与材料温度分布与材料导热系数导热系数无关。无关。

8、 )ln()ln()(121211rrrrttttwww212212212211)ln( ;1)ln(rrrttdrtdrrrttdrdtwwwwn圆筒圆筒壁内温度分布曲线的形状？壁内温度分布曲线的形状？向上凹若 0 : 2221drtdttww向上凸若 0 : 2221drtdttwwt tw2w2t tw1w121221mW)ln(ddrrttrrtqww)ln()ln()(121211rrrrttttwwwrrrttdrdtww1)ln(1221W 2)ln( 2211221lwwwwRttlrrttrlq长度为长度为l的圆筒壁的圆筒壁的导热热阻的导热热阻12ln21rrlRl单位长度圆

9、筒壁的热阻：单位长度圆筒壁的热阻：12ln21rrRL122.2.第三类边界条件下的圆筒壁导热分析第三类边界条件下的圆筒壁导热分析 边界条件：表面换热系数边界条件：表面换热系数1 1、2 2，介质的温度，介质的温度t tf1f1，t tf2f2。1111qwftt2222qfwtt界面换热：界面换热：热量热量在稳定导热情况下：在稳定导热情况下：LLLQQQ21界面界面1 1：（对流）（对流）LLwfwfLQRttrttqrQ111111111121211112rQttLfw界面界面2 2：（对流）（对流）LLfwfwLQRttrttqrQ222222222221222222rQttLfw壁内：

10、壁内：LwwwwLRttrrttQ211221ln21联立求解得：联立求解得： 21212212112121ln2121LLLffffLRRRttrrrrttQ)ln()ln()(121211rrrrttttwww思考：如何求解思考：如何求解壁内温度壁内温度t(r)?11112rQttLfw22222rQttLfw)ln()ln()22(2)(121222111111rrrrrQtrQtrQtrtLfLfLf3.3.多层紧密接触筒壁的导热分析多层紧密接触筒壁的导热分析设：第设：第I I层的材料导热系数为层的材料导热系数为 ，内、外半径分别为，内、外半径分别为r ri i 和和r ri+1i+1

11、。(i(i1,2,3n)1,2,3n) i 由不同材料构成的多层圆筒壁，其由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按导热热流量可按总温差总温差和和总热阻总热阻计算。计算。第一类边界条件：第一类边界条件：niiiissLrrLttQ1121ln21长度为长度为L L圆管：圆管：单位管长：单位管长：niiiissrrttQ1121ln21第三类边界条件：第三类边界条件： 2111112121ln2121niiiniffLrrrrttQ单位管长：单位管长：t tf1f1t tf2f2思考：如何求解思考：如何求解界面温度界面温度和和壁内温度壁内温度？第一类边界条件第一类边界条件iiniinnrrQt

12、t111ln21)ln()ln()(11nnnnnnrrrrtttt第一类边界条件第一类边界条件第三类边界条件下壁内温度分布如何求？第三类边界条件下壁内温度分布如何求？4.4.球壁的导热分析球壁的导热分析 Rtrrtt)tt (rrQ212121214141114 由付立叶导热定律可求得球壁导热由付立叶导热定律可求得球壁导热流量计算公式：流量计算公式：11t)r1r1(4Qt22t)r1r1(4Qt 球壁内的温度分布公式：球壁内的温度分布公式：与半径无关与半径无关只与半径有关只与半径有关QrSQSSQ24拱球拱拱miiin1i1n1FttQ式中，式中，i为第为第i i 层厚度，层厚度，F Fm

13、imi为第为第i i层球壁内外表面积的几何平均值，即：层球壁内外表面积的几何平均值，即：14iimirrF5.5.其它变面积或变导热系数问题其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热问题的主要途径分两步：求解导热微分方程，获得温度场；求解导热微分方程，获得温度场；根据根据FourierFourier定律和已获得的温度场计算热流量；定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时：时： xtxAtdd)()(当当

14、 (t), A=A(x)(t), A=A(x)时：时：xtAdd一维一维FourierFourier定律：定律：分离变量后积分，并注意到分离变量后积分，并注意到热流量热流量与与x x无关无关( (稳态稳态) )，得，得: :当当 随温度呈线性分布时，即随温度呈线性分布时，即 0 0atat，则，则2210tta实际上，不论实际上，不论 如何变化，只要能计算出如何变化，只要能计算出平均导热系数平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将将 换成平均导热系数。换成平均导热系数。1221)(ttdtttt21)()(21xxxAdxttxtxAtdd)()()()()()()(12121212212121tttttttttdttxAdxttttxx