第四章4.2.3直线与圆的方程的应用.

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1、4.2.3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，下面通过几个例子说明直线中有着广泛的应用，下面通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.问题：问题：赵州桥的跨度是赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为，圆拱高约为7.2m你能用一个适当的方程描绘该桥的圆拱吗？你能用一个适当的方程描绘该桥的圆拱吗？用坐标法解决几何问题的步骤：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程

2、表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果第三步：将代数运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论. 例例1：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的的长度（精确到长度（精确到0.01m)yx解解：建系如图，建系如图，02+(4b)2= r2102+(0b)2=r2解得：

3、解得：b= 10.5 ， r2=14.52 .所以圆的方程是：所以圆的方程是： x2 +(y+10.5)2 = 14.52把点把点P2的横坐标的横坐标 x = 2 代入圆的方程，得代入圆的方程，得 (2)2+(y+10.5)2=14.52因为因为y0,所以所以y=14.52 (2)2 10.514.3610.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m。由题意可设圆的方程：由题意可设圆的方程：x2 + (y-b)2 = r2因因P(0，4)、B(10，0)都在圆上，都在圆上，例例1：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱

4、跨度AB=20m， 拱高拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱需用一个支柱支撑，求支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)yxC1解解2：练习：练习：赵州桥的跨度是赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为，圆拱高约为7.2m你能用一个适当的方程描绘该桥的圆拱吗？你能用一个适当的方程描绘该桥的圆拱吗？建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系. 解解：即有即有A(18.7，0)，B (18.7，0)，P(0，7.2) .OCxy则由题意：则由题意：|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.设所求圆的方程是设所求圆的方程是(x a)2 + (y

5、 b)2 = r2. 222222222(18.7),(18.7),(7.2)abrabrabr则则解方程组得解方程组得a = 0，b = 20.7，r = 27.9.所以这圆拱桥的拱圆的方程是所以这圆拱桥的拱圆的方程是: x2 + (y + 20.7)2 = 27.92(0y7.2)2.如图，等腰梯形如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为的底边长分别为6和和4，高，高为为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长圆的圆心坐标和半径长.xyOEABCD解：解：建立直角坐标系如图，建立直角坐标系如图， 则则, )03( ，B).32( ，

6、CBC边的中点：边的中点：),2325( ，M直线直线BC的斜率：的斜率：3203 BCk. 3 线段线段BC的中垂线：的中垂线：)25(3123 xy线段线段AB的中垂线：的中垂线：0 x),320( ，圆心圆心E半径长半径长:22)02()30(| EB.385 等腰梯形的外接圆的方程：等腰梯形的外接圆的方程：.985)32(22 yx. 例例2. 已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证它的对角线互相垂直平方和，求证它的对角线互相垂直.xyO证明：证明：已知四边形已知四边形ABCD（如图），（如图），|AB|2 + |CD|2 =

7、|BC|2 + |AD|2求证：求证：AC BD .ABCD建系如图建系如图:设设A(a, 0) , B(0 , b)，C(c ,0) , D(x , y) .|AB|2 + |CD|2 = |BC|2 + |AD|222222222)()(yaxcbycxba 即即0)( xca,0 ca. 0 x从而从而D(0 , y) 在轴上在轴上. AC BD .例例3.已知圆已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线直线l: (2m+1)x +(m+1)y = 7m +4 (mR).（1）求证：不论）求证：不论m取什么实数，直线取什么实数，直线l与圆与圆C恒相交；恒相交；（2）求直线）求直线

8、l 被圆被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程的方程.的方程变形得：的方程变形得：）将直线）将直线（l1解：解：.，方方程程成成立立对对任任意意实实数数m 04072yxyx.13），（恒恒过过定定点点，直直线线对对任任意意实实数数Alm.13 yx22)21()13( AC又又，内内在在圆圆点点CA.恒相交恒相交与圆与圆，直线，直线对任意实数对任意实数Clm，）（）（0472 yxmyx5 5 分析：分析：（1）若对于任意的实数）若对于任意的实数m，直线，直线l与圆与圆C恒相交，则直线恒相交，则直线l必必过圆内过圆内(上上)一定点，因此应从直线一定点，

9、因此应从直线l过定点的角度去考虑问题；过定点的角度去考虑问题；.2垂直的弦垂直的弦直径直径被圆截得最短的弦是与被圆截得最短的弦是与）由平几知识可得，）由平几知识可得，（ACl3112 ACk2 lk)3(21 xyl：直线直线.052最短时的直线方程最短时的直线方程被圆截的线段被圆截的线段为直线为直线即即lyx |2|ABBD 最短弦长为最短弦长为.CABD的距离为的距离为到直线到直线，此时圆心此时圆心052)21( yxC22)1(2|52112| CA5252 分析：分析：（2）根据平面几何定理，过圆内一点最短的弦，应是过这）根据平面几何定理，过圆内一点最短的弦，应是过这点的与弦心距垂直的