计算机图形学第八章

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1、1第八章第八章 曲线和曲面曲线和曲面o 提出问题提出问题 由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。实验特性、变化规律和趋势等。2第八章第八章 曲线和曲面曲线和曲面o 基本概念基本概念o 三次样条三次样条38.1 基本概念基本概念o 曲线曲面数学描述的发展曲线曲面数学描述的发展o 曲线曲面的表示要求曲线曲面的表示要求o 曲线曲面的表示曲线曲面的表示o 插值与逼近插值与逼近o 连续

2、性条件连续性条件o 样条描述样条描述4曲线曲面数学描述的发展曲线曲面数学描述的发展o 弗格森双三次曲面片弗格森双三次曲面片o 孔斯双三次曲面片孔斯双三次曲面片o 样条方法样条方法o Bezier方法方法o B样条方法样条方法o 有理有理Beziero 非均匀有理非均匀有理B样条方法样条方法5曲线曲面的表示要求曲线曲面的表示要求o 唯一性唯一性o 几何不变性几何不变性o 易于定界易于定界o 统一性统一性o 易于实现光滑连接易于实现光滑连接o 几何直观几何直观6曲线曲面的表示曲线曲面的表示o 参数法表示参数法表示o 参数法表示的优点参数法表示的优点n 点动成线点动成线n 通常总是能够选取那些具有几

3、何不变性的参通常总是能够选取那些具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。数曲线曲面表示形式。n 用对参数求导来代替斜率，避免无穷大斜率用对参数求导来代替斜率，避免无穷大斜率 1 , 0 )(ttpp7曲线曲面的表示曲线曲面的表示n t0,1 ，使其相应的几何分量是有界使其相应的几何分量是有界的。的。n 可对参数方程直接进行仿射和投影变换。可对参数方程直接进行仿射和投影变换。n 参数变化对各因变量的影响可以明显地表参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。示出来。8插值与逼近插值与逼近o 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为样条。称为样条。o

4、样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续条件。在每段的边界处满足特定的连续条件。o 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。9插值与逼近插值与逼近o 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。图图8.1 曲线的拟合曲线的拟合10插值与逼近插值与逼近o 曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过

5、控制点列。面的形状时，求出的形状不必通过控制点列。图图8.2 曲线的逼近曲线的逼近11插值与逼近插值与逼近o 求给定型值点之间曲线上的点求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值。称为曲线的插值。o 将连接有一定次序控制点的直将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形或特征线序列称为控制多边形或特征多边形。多边形。图图8.2 曲线的逼近曲线的逼近12连续性条件连续性条件o 假定参数曲线段假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：以参数形式进行描述：o 参数连续性参数连续性n 0阶参数连续性，记作阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线连续性，是指曲线的几何位置连接，即的几何位置连接，即t ,t t

6、)(i1i0tppii)()(0)1()1(1iiiitptp13连续性条件连续性条件n 1阶参数连续性，记作阶参数连续性，记作C1连续性，指代表两连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：阶导数：)()()()(0)1()1(10)1()1(1iiiiiiiitptptptp且14连续性条件连续性条件n 2阶参数连续性，记作阶参数连续性，记作C2连续性，指两个相连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。和二阶导数。 图图8.3 曲线段的参数连续性曲线段的参数连续性15连续性

7、条件连续性条件o 几何连续性几何连续性n 0阶几何连续性，记作阶几何连续性，记作G0连续性，与连续性，与0阶参阶参数连续性的定义相同，满足：数连续性的定义相同，满足： )()(0)1()1(1iiiitptp16连续性条件连续性条件n 1阶几何连续性，记作阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例在相邻段的交点处成比例n 2阶几何连续性，记作阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。17样条描述样条描述on次样条参数多项式曲线的矩阵次样条参数多项式曲线的矩阵0,1 t)

8、()()(011220112201122ctctctctzbtbtbtbtyatatatatxnnnnnn18样条描述样条描述0,1 t 1)()()()(000111GMTCTcbacbacbatttztytxtpSnnnn198.2 三次样条三次样条o 给定给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次个点，可得到通过每个点的分段三次多项式曲线：多项式曲线： 0,1 t )()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx20自然三次样条自然三次样条o 定义：给定定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构个型值点，现通过这些点列构造一条自然三次

9、参数样条曲线，要求在所有曲造一条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公共连接处均具有位置、一阶和二阶导线段的公共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，即自然三次样条具有数的连续性，即自然三次样条具有C2连续性。连续性。o 还需要两个附加条件才能解出方程组。还需要两个附加条件才能解出方程组。21自然三次样条自然三次样条o 特点特点n 只适用于型值点分布比较均匀的场合只适用于型值点分布比较均匀的场合n 不能不能“局部控制局部控制” 22三次三次Hermite样条样条o 定义：假定型值点定义：假定型值点Pk和和Pk+1之间的曲线段为之间的曲线段为p(t),t0,1，给定矢量给定矢量Pk、Pk

10、+1、Rk和和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线：样条曲线：11) 1 (,)0() 1 (,)0(kkkkRpRpPpPp23o 推导推导CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx 1 1)(232324o Mh是是Hermite矩阵矩阵。Gh是是Hermite几何矢量几何矢量。hhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC111110001010012331122012301001111100025三次三次Hermite样条样条o 三次三次Hermite样条曲线的方程为：样条曲线的方程为

11、：0,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh26三次三次Hermite样条样条o 通常将通常将TMk称为称为Hermite基函数（或称混合基函数（或称混合函数，调和函数）：函数，调和函数）： )(2)(32)(132)(233232231230tttHttttHtttHtttH)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkk27三次三次Hermite样条样条图图8.4 Hermite基函数基函数28三次三次Hermite样条样条o 特点特点n 可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束。点约束。n