第4章正弦稳态电路分析
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1、1第 4 章 正弦稳电路分析 4.3 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳4.2 正弦量的相量表示法4.1 正 弦 量 的 基 本 概 念4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率4.6 正弦稳态电路中的中 的 最 大 功 率 传 输返回2学 习 目 标 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。 正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。 深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。 正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。能进行对称三相电
2、路的计算。 34.1 正弦量的基本概念4.1.1 正弦量的三要素 若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为：)sin()(imtIti 波形如图4-1所示图 4-1 正弦量的波形4 图中Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当t=0时的相位 叫初相位，简称初相； 叫正弦量的角频率。 因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加2，则角频率、周期T和频率之间关系为： fTfT122即 、T、反映的都是正弦量变化的快慢，越大，即越大或T越小，正弦量变化越快；越小，即越小或T越大，正弦量变化越慢。 把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。
3、t只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。、mI5 用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起点在原点左侧 ；反之 。 00如图4-2 所示，初相分别为0、662、 由图可见，初相为正值的正弦量，在t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。 6图 4-27)sin()()sin()(222111imimtItitIti2121122121)()(,),()(iiiiiiiiitttt而把、初相各为、它们的相位各为4.1
4、.2、同频率正弦量的相位差、同频率正弦量的相位差 设有两个同频率的正弦量为 叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。 初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不同时达到最大值，步调不一致，1i2i2i1i1i2i2i1i8 如果 ，则表示i1超前i2 ;如果 ，则表示i1滞后i2 ，如果 ，则两个正弦量正交；如果 ，则两个正弦量反相。12212012012 同频率正弦量的相位差，不随时间变化，与计时起点的选择无关。为了分析问
5、题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较，即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。如图4-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。9图 4 -3 i1与i2同相、超前、正较、反相104.1.3 正弦电流、电压的有效值 1、有效值 周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。根据有效值
6、的定义，则有 RTRdtIiT202 则周期电流的有效值为TdtTIi021112、正弦量的有效值)sin()(imtIti对于正弦电流，设IImmmTmTimTimTIItTIdttTIdttI707.0222)(2cos12)(202020221sin同理 mmUUU707.02112 4.2 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示 法法 4.2.1 复数的运算规律复数的运算规律 2222211111rjbaArjbaA 复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。如：相加、减的结果为：A1A2=（a1+jb1）(a2+jb2
7、)=(a1a2)+j(b1b2) 复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。如：132121)(2121212121rrerrererAAjjj2121212121rrererjjAA因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。 特别地，复数 的模为1，辐角为 。把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角。jejejeje144.2.2 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示 设有一复数它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复指数函数
8、。因为)()(tjeAtAtjtjjtjAeeeAeAtA)()(由于)sin()cos()()(tAjtAeAtAtj 可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。tjmmtjmtjjmttjmueUIeUIeUeIUeItUtuuu.)(222)sin(2)(15式中同理.2UUUeUmju或.2 IIIeImji或 把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。 mUU.和例 已知 u1=141sin(t+60o)V ，u 2 =70.7sin(t-45o)V 。求：
9、 求相量 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t) （3） 画出相量图 。和2.1UUVjeUVjeUjj)35.3535.35(504550427 .70)6 .8650(1006010032141452601解（1）16VttuejjUUUj)31sin(255.99)(55.993155.99)35.3535.35()6 .8650(3121（2）（3） 相量图如图4-4所示图 4-4174.3 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式4.3.1 基本元件VAR的相量形式 在交流电路中，电压和电流是变动的，是时间的函数。电路元件不仅有耗能元件的电阻，而且有储能元件电感和电容。下面
10、分别讨论它们的伏安关系式（即VAR）的相量形式。1 、 电阻元件根据欧姆定律得到 Riu )sin(2)sin(2iutRItU 上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的，相量、波形图如图4-5所示。18其相量关系为：iuIIUUIRUIRU,22其中即图 4-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图192、 电容元件电容元件上电压、电流之间的相量关系式为： .UCjI将上式改写为：90190uiCuuiIXICCIUCUICUCUjI或即I 通常把 XC= 定义为电容的容抗。电容元件上，电流振幅为电压振幅的C倍 。C120图 4-6 电容元件的波形、相量图 以上表明电容电流超前电容电压
11、90，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图4-6所示。213、电感元件电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：.ILjU由上式可得U= LI =XLI 90iu 上式表明电感上电流滞后电压为90。 通常把XL=L定义为电感元件的感抗，它是电压有效值与电流有效值的比值即 XL=L。对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的抗感越大，反之越小。在直流情况下，频率为零，XL=0，电感相当于短路。22图 4-7 电感元件的波形、相量图电感元件的波形、相量图如图4-7所示。可以看出，电感上电流滞后电压为90。234.4 复 阻 抗 与 复 导 纳4.4.1 复阻复阻抗抗 设由R、L、C串联组成无源二端电
