复变函数总结完整版

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1、第一章 复数1 =-1 欧拉公式 z=x+iy 实部Re z 虚部 Im z2运算 共轭复数 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示 z与平面点一一对应，与向量一一对应辐角 当z0时，向量z和x轴正向之间的夹角，记作=Arg z= k=123把位于-的叫做Arg z辐角主值 记作=4如何寻找arg z例：z=1-i z=i z=1+i z=-1 5 极坐标： ， 利用欧拉公式 可得到 6 高次幂及n次方凡是满足方程的值称为z的n次方根，记作 即 第二章解析函数1极限2函数极限 复变函数对于任一都有 与其对应注：与实际情况相比，定义域，值域变化例 称当时以A为极限 当时，连续例1 证明在每一点都

2、连续证： 所以在每一点都连续3导数 例2 时有 证：对有 所以例3证明不可导解：令 当时，不存在，所以不可导。定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件 且例4证明不可导解： 其中 u,v 关于x,y可微 不满足C-R条件 所以在每一点都不可导例5 解： 不满足C-R条件 所以在每一点都不可导例6： 解： 其中 根据C-R条件可得所以该函数在处可导4解析若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。用C-R条件必须明确u,v四则运算 例：证明 解： 则 任一点处满足C-R条件所以处处解析 练习：求下列函数的导数 解: 所以 根据C-R方程可得 所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。初等函

3、数常数指数函数 定义域 对数函数 称满足的叫做的对数函数，记作分类：类比的求法（经验）目标：寻找 幅角主值可用： 过程： 所以 例：求 的值 幂函数 对于任意复数，当时例1：求的值解： 例2：求三角函数 定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数 例：求 解：第三章复变函数的积分1复积分定理3.1 设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有注：C是线 方式跟一元一样方法一：思路：复数实化把函数与微分相乘，可得方法二：参数方程法 核心：把C参数C： 例： 求 C：0的直线段；解：C： 结果不一样2柯西积分定理例： C：以a为圆心，为半径的圆，方向：逆时针解：C： 积分与