高数A第二章课件(安徽科技大学)

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1、三、微分运算法则三、微分运算法则四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用第五节第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分函数的微分 第二章第二章 二、微分的几何意义二、微分的几何意义 一、微分的概念一、微分的概念引例引例: : 正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 因为正方形面积因为正方形面积2020)(xxxA 所所以以.)(220 xxx )1()2( ; , 的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax . , 很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高

2、阶无穷小xx )1()2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如, ,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy 则则),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分) )是否所有是否所有函数的改变量都有函数的改变量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?1. 微分微分(differ

3、ential)的定义的定义.d ),(dd, )( , )(, , )( )()( , , )(000000000 xAyxfyxxxfyxAxxfyxAxoxAyxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称是可微的是可微的在点在点那么称函数那么称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中可表示为可表示为如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.d的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分yy ( (微分的实质微分的实质) )2. 由微分的定义知由微分的定义知:;d)1

4、(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xy ;)(d)2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxoyy ;d,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当yyA yyd 因为因为xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(d,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当yyx ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性 , )( 0可微可微在点在点因为因为xxf ),( xoxAy 所以所以,)( xxoAxy

5、 于是于是xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数3. 可微的条件可微的条件(2) 充分性充分性)()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即 , )( 0可导可导在点在点因为函数因为函数xxf ),(lim00 xfxyx 所以所以)0(0 x 由由),()(0 xoxxfy .)(, )(00Axfxxf 且且可微可微在点在点所以函数所以函数 ( ).dyfxx 故故 可导可导可微可微( ).Afx函数在任意点处的微分，称为函数的微分，函数在任意点处的微分，称为函数的微分，记作记作dy，即，即例例1解解.02.

6、 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxy xxy )(d3 因为因为,32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy 所以所以.24. 0 .d,d,xxxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(d dxxfy 所以所以).(ddxfxy .dd微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分xy二、微分的几何意义二、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).d,对应的增量对应的增量就

7、是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当yy xx0 P . , , MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 三、微分运算法则三、微分运算法则,d)(d xxfy 微微分分表表达达式式微分的求法微分的求法: :1. 1. 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 ( (对照表对照表) )先计算函数的导数再乘以自变量的微分先计算函数的导数再乘以自变量的微分. .xxxCxxCd)(d0)(d)(0)( 11 式式公公分分微微式式公公数数导导xaxxxxaaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaxxaaa