第三章函数单调性与曲线的凹凸性

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1、1第一节、微分中值定理第一节、微分中值定理 第三节、泰勒公式第三节、泰勒公式 第第3 3章章 本章内容：本章内容：第二节、洛必达法则第二节、洛必达法则 第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节、函数的极值与最大值最小值第五节、函数的极值与最大值最小值 第六节、函数图形的描绘第六节、函数图形的描绘 第第3 3章章微分中值定理微分中值定理 与导数的应用与导数的应用 第七节、曲率第七节、曲率 2拐点函数的单调性与曲线的第四节一、单调性的判别法一、单调性的判别法点点二、曲线的凹凸性及拐二、曲线的凹凸性及拐三、小结及作业三、小结及作业3一、单调性的判别法一、单调性的判

2、别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA4证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf

3、.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 5上的单调性。上的单调性。在在讨论讨论例例2 , 0sin1 xxy解：解：),2 , 0(, 0cos1 xxy上单调增加。上单调增加。在在2 , 0sin xxy例例2 2解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函函数数单单调调增增加加).,(: D又又6yxo说明说明: : (1)(1)单调区间的分界点除

4、驻点外单调区间的分界点除驻点外, ,也可是导数不存在的也可是导数不存在的点点. . 例如例如, ,),(,32xxy332xy 0 xy32xy (2) (2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, , 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 . .例如例如, ,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 7（3）函数在整个定义域上不一定是单调的，但）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可能是点只可能是 的点及导数不存在的点的点及导数不存在的点0)( xf上不单调上不单调在在如如2

5、 , 0sin xy 2 23 2上单调上单调但在但在2 ,23,23,2,2, 0 0)23()2( ff且且。点不可导但改变单调性点不可导但改变单调性在在再如再如0 xxy立立换成无穷区间定理仍成换成无穷区间定理仍成）把）把（),(4ba 082)(2,82)(2 xxfxxxf上上在在如如8 （5）讨论函数单调性的步骤： 1. 确定函数的定义域； 2. 求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点； 3. 这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论。 （6）区间内个别点导数为零）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上单调增加上单调增

6、加但在但在式。式。利用单调性可证明不等利用单调性可证明不等)(79例例3.3.确定函数确定函数31292)(23xxxxf的单调区间的单调区间. .解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的单调增区间为的单调增区间为, ) 1,(),2()(xf的单调减区间为的单调减区间为)2,1 (10例例4 4解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调

7、增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,( )., 0 32xy 11例例5 5证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即0)0()( fxf126例例时时，当当20 x。证证明明21sin2xxex 证明：证明： )21(sin)(2xxexfx 作作20 xxxexf

8、fx cos)(0)0(0cos)(0)0( xexffx因此，因此， 单调减少单调减少, , 0)0()( fxf)(xf 0)0()( fxf 单调减少单调减少 0)0()( fxf也就是也就是 0)21(sin2 xxex21sin2xxex )(xf 1sin)(0)0( xexffx)(xf单调减少单调减少, , 13例例7.7. 证明证明2031tan3 xxxx证：证：令令331tan)(xxxxF 2222tan1sec)(xxxxxF )(tan(tanxxxx 0 xxtan 0)( xF0)00()(0)00( FxFF从而从而2031tan3 xxxx成立成立01xse

9、c)xx(tan2 当当0 x 时，时，14只有一个实根。只有一个实根。证明证明0123 xxx证明：证明：1)(23 xxxxf令令123)(2 xxxf032)31(32 x上严格单增上严格单增在在),()x(f根根。所所以以方方程程最最多多有有一一个个实实, 01)0( f又又051248)2( f上至少有一实根，上至少有一实根，在在所以所以0 , 2)( xf即方程只有一个实根即方程只有一个实根例例7.7.15问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形

10、上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC点二、曲线的凹凸性及拐161. 1. 曲线的凹凸与拐点的定义曲线的凹凸与拐点的定义定义定义 1 1. . 设函数设函数)(xf 在区间在区间 上连续上连续 , , ,21Ixx(1) (1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 则称则称 的图形的图形)(xf是是凹凹的的; ;(2) (2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 则称则称 的图形的图形)( xf函数图形上凹凸的分界点称为函数图形上凹凸的分界点称为拐点拐点 . .是是凸凸的的 . .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xy

11、oxI172、曲线凹凸的判定、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf （证明略）（证明略）18例例4.4.判断曲线判断曲线4xy 的凹凸性的凹凸性. .解解: :,43xy 212xy 时，时，当当0 x;0 y,0时时 x, 0 y故曲线故曲线4xy 在在),

12、( 上是向上凹的上是向上凹的. .说明说明: :1) 1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,0 ,2)2)根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, , 可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下: :若曲线若曲线)(xfy ,0连续连续在点在点x0)(0 xf或不存在或不存在, ,但但)(xf 在在 两侧两侧异号异号, ,0 x则点则点)(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点. .则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 . .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号, ,xyo19不存在的点。不存在的点。导导是二阶导数为零及二阶是二阶导数为零及二阶

13、）改变凹凸性的点可能）改变凹凸性的点可能3 4 4）判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：）判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：（a a）求出）求出 ；（b b）求出使）求出使 的点及的点及 不存在的点；不存在的点；（c c）检查在这些点左右两边的符号，从而决定曲线）检查在这些点左右两边的符号，从而决定曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。 )(xf 0)( xf)(xf 20例例2 2.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0

14、(是曲线的拐点是曲线的拐点点点注意到注意到,21例例3.3.求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点. . 解解: :,3231 xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此点因此点 ( 0 , 0 )( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 . .22例例4.4.求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点. .解解: :1) 1) 求求y ,121223xxy xxy24362 )(3632 xx2)2)求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得,03221 xx对应对应3) 3) 列表判别列表判别271121,1 yy)0,(),0(3232),

15、(y xy0320012711点点(0,1)(0,1)及及),(271132均为拐点均为拐点. .32) 1 , 0(),(271132故该曲线在故该曲线在),32(),0 ,(,上凹上凹)32, 0(上凸上凸235例例证明不等式证明不等式)0, 0(2ln)(lnln yxyxyxyyxx证明：证明：)0(ln)( zzzzf令令1ln)( zzf)0(01)( zzzf是凹函数，是凹函数，)(zf)()(21)2(yfxfyxf 2ln2)lnln(21yxyxyyxx 即即2ln)(lnlnyxyxyyxx 故故有有24三三. .内容小结内容小结1. 1. 可导函数单调性判别可导函数单调

16、性判别Ixxf ,0)()(xf在在 I I 上单调递增上单调递增Ixxf ,0)()(xf在在 I I 上单调递减上单调递减2.2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹上向上凹在在曲线曲线Ixfy)( Ixxf ,0)(+ +上向上凸上向上凸在在曲线曲线Ixfy)( 拐点拐点 连续曲线的凹凸分界点连续曲线的凹凸分界点25思考与练习思考与练习 1 ,0上上,0)( xf则则, )1(, )0(ff )0()1(ff 或或)1()0(ff 的大小顺序是的大小顺序是 ( )( )0()1()0()1()(ffffA )0()0()1()1()(ffffB )0()1()0()1()(ffffC )0()1()0()1()(ffffD 提示提示: :利用利用)(xf 单调增加单调增加 , ,)10()()0()1( fff及及B B1.1.设在设在2615243P 习题习题).3(10),2(9),1(8),1(5, 4),6(3, 1