《信息光学》第二章二维线性系统

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1、本章主要内容本章主要内容1、线性系统2、线性不变系统3、抽样定理1 1、线性系统、线性系统,g x yf x y L L用算符用算符 描述系统的作用！描述系统的作用！ L L1）系统的数学表示1 1、线性系统、线性系统2）线性系统的定义 若对于任意两个输入函数若对于任意两个输入函数f1和和f211,gx yfx y L L22,gx yfx y L L1 1221 122,a fx ya fx ya fx ya fx yLLLLLL11221122,afx yafx ya gx ya gx yLLLL对于任意复数常数对于任意复数常数a a1 1和和a a2 2，均有如下关系成立：，均有如下关系

2、成立：则表明该系统是则表明该系统是线性系统线性系统！1 1、线性系统、线性系统图例：线性系统的叠加性质1 1、线性系统、线性系统3 3）基元函数基元函数的系统响应的系统响应（系统是一个线性系统）（系统是一个线性系统）一系列的一系列的“基元函数基元函数”的和的和分分解解（傅里叶级数展开）（傅里叶级数展开）1,miiif x ya fx y（这些基元函数可能是 函数函数、阶跃函数阶跃函数、余弦函数余弦函数或复指数函数复指数函数等形式）对应的对应的“基元函数基元函数”响应的和响应的和合合成成1,miiia gx yg x y,iiiia fx ya gx yL L如何确定基元函数的响应？如何确定基元

3、函数的响应？1 1、线性系统、线性系统 举例：举例：选取基元函数为选取基元函数为脉冲函数脉冲函数 ( ( 函数函数) )根据脉冲函数的筛选性质，可将任意函数分解为： ,f x yfxyd d 任意函数都可以看作xy平面上不同位置处的很多函数的线性组合，而每一个位于(,)坐标的函数的权重因子就是函数在该点的数值f(,)。这种分解方法称为脉冲分解脉冲分解。于是系统的输出为：于是系统的输出为： ,g x yf x yfxyd d LLLL由于系统是线性的，系统算符由于系统是线性的，系统算符 可以写进积分号内可以写进积分号内(与积分算符交换顺序与积分算符交换顺序)，直，直接作用到各个基元函数上：接作用

4、到各个基元函数上： L L,g x yfxyd d L L1 1、线性系统、线性系统,g x yfxyd d L L若令若令 , ; ,h x yxy L L它表示系统输出平面(x,y)点对应于输入平面坐标(,)点的函数响应，称为系统的脉冲响应系统的脉冲响应。 , ; ,g x yfh x yd d 系统输出：系统输出： 上式描述了线性系统输入和输出的关系，称其为“叠加积分叠加积分”； 只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出； 若系统输入和输出满足上述叠加积分关系，该系统必然是线性系统。2 2、线性不变系统、线性不变系统1 1）线性不变系统）线

5、性不变系统线性系统的一个子类线性系统的一个子类根据“叠加积分”原理，只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积脉冲响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出分完全确定系统的输出。但是，要得到输入平面上所有可能位置上的脉冲响应是非常困难的非常困难的，甚至是不可能的甚至是不可能的。2 2）线性不变系统的定义）线性不变系统的定义若若, ; ,xyh x yh xy L L一个空间脉冲在输入平面位移，线性系统的响应函数形式不变，只是产生了相应位移，这样的系统称为空间不变系统空间不变系统或位移不变系统位移不变系统。若若,th tL L若输

6、入脉冲延迟时间，其相应h仅仅有相应的时间延迟，而函数形式不变，这样的系统称为时不变系统时不变系统。2 2、线性不变系统、线性不变系统 , ; ,g x yfh x yd d ,g x yfh xyd d 叠加积分：叠加积分：, ; ,h x yh xy ,f x yh x y卷积积分：卷积积分：对于线性不变系统，系统的作用可以用对于线性不变系统，系统的作用可以用统一的一个脉冲响应函数统一的一个脉冲响应函数来表征，系来表征，系统的分析得到简化！统的分析得到简化！2 2、线性不变系统、线性不变系统3 3）线性不变系统的）线性不变系统的传递函数传递函数,g x yf x yh x y ,xyxyxy

7、G ffHffFff卷积定理卷积定理输入频谱输入频谱输出频谱输出频谱,xyFfff x yF,xyG ffg x y=F,xyHffh x y=F传递函数传递函数从空间域入手计算系统的输出从空间域入手计算系统的输出从频率域入手计算系统的输出从频率域入手计算系统的输出* 传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换.2 2、线性不变系统、线性不变系统对于线性不变系统，可以找到更适合的对于线性不变系统，可以找到更适合的“基元函数基元函数”，即，即复指数函数复指数函数。根据傅立叶逆变换有：,exp2xyxyxyf x yFffjf xf ydf df 当f(x,y)作