第三章旋转对称系统
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1、电子光学第三章第三章 旋转对称系统的高斯光学旋转对称系统的高斯光学31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l轨迹方程l电子光学要研究和解决的问题是带电粒子的运动规律，从上一章的内容中我们得到了三种描述带电粒子运动规律的方法，他们分别是牛顿运动方程、拉格朗日方程和最小作用原理，前两个方程，描述了微分方程，最后一个描述的是积分方程，证明他们是等价的。31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动 如果从运动方程得到一个以位置坐标z为变量的微分方程，称为轨迹方程，与最小作用原理等价。本章采用的描述方法是从运动方程出发，通过数学变换，将方程中的时间坐标变换成位置坐标，从而得到轨迹方程
2、。通常描述带电粒子运动的基本方程式是牛顿运动方程，它是一个以时间为变量的二阶微分方程。本章描述的方法是一般教科书常用的方法。31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动直角坐标的运动方称的三个分量式分别为：直角坐标的轨迹方程)(0zxBxBzeyUeym )(0 xyByBxezUezm )(0yzBzByexUexm 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l利用能量守恒定律eUzyxmm)(22222020可以得到关于位置坐标变量z对时间t的一阶微分21220)1 (2yxUmez 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动而坐标x,y对t的一阶和二阶微分可以
3、表示为xdzdzdzdxdtdzxdtdxydzdzy )()(dzdxzdzdzxdtddtdx )(dzdyzdzdzy Uyxmez)1 (2220)1 (2()1 (22222xyxmeUdzdyxmeUx 由于因此31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l将上式中的z对时间的微分替代，然后再代入运动方程的左端得到0222222()11UdUdxm xmxydzxydz)(yzBzByzexUe再将z的微分代入上式，可以得到x方向的轨迹方程得分量方程为：而右端项为31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动22222()1(1)()2zydUxdzxyxyUy BB
4、Ux 22222()1(1)()2xzdUydzxyxyUBx BUy 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动2. 圆柱坐标的轨迹方程圆柱坐标的轨迹方程l由于电子光学中，旋转对称系统常用圆柱坐标表示，从上一章中得到，从直角坐标的运动方程，经过坐标变换得到的圆柱坐标运动方程的三个分量方程为：zBerrUerrm )(2031旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动)()(120zrBrBzermdtdrrBerzUezm 0r z 同上节一样，将上述方程中对时间微分量换成对位置坐标的微分，可以得到圆柱坐标的轨迹方程。和，31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动首
5、先，利用上面的第二个方程，可以得到角动量守恒定律，从而得到旋转角动量其中上式第二式表示旋转方向的分量运动将得到的角速度代入其他两式，得到圆柱坐标表示的运动方程的r和z方向的两个分量式该方程表示一个以某一个角速度旋转的坐标系。31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动3.角动量守恒和旋转角速度l（313）式表示旋转方向分量方程，用磁矢量A位代替磁感应强度BrrArrezrArzeBrBzermdtdrzr)(1)(1)()(120zrArBr)(1rrArBz)(1方程为：31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动将方程中r1去掉，方程为：)()(20zrBrBzermdtd
6、由于全微分形式有：( )( )( )()drArArAerAezeredtzrtrrArezrAze)()(31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l而由于对于恒定磁场有 0)(rAt因此右端项可以写成全微分形式)(erAdtd方程为：)()(20erAdtdrmdtd31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动写成全微分，因此有0)(20erArmd积分后得到)(00020020AererArmrm31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l角动量守恒0r0A0其中：分别表示初始坐标、 磁矢位、旋转角速度。上式左端项表示角动量，右端项的第一项表示初始角动量第二项
7、表示磁通的增量。说明，带电粒子任一点的角动量，只取决于初始角动量及粒子运动过程中磁通量的变化，31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动rArA的变化引起的，若粒子运动中一磁力线上，角动量不变。表示磁通量函数，可以看出，角动量的变化是磁通量不变，或始终两点在同(2) 角速度利用布许定理可以得到粒子旋转运动角速度为)(220rcrrAme其中000200Arremc31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动zBerrUerrm )(20代入后可以写为即可得到不考虑旋转方向的，关于带电粒子在子午面的运动方程。如果将式得到的角速度代入圆柱坐标的第一和第三个方程中，将不包括旋转方向
8、的分量关于r方向的第一个方程为： 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动2222221 ()()()zUrrr BrrAcrAcrArrrrrr 右端项写成=2221()()()() 2rAcrAcrAcrAcrrrrrr代入第二个方程Uzz2)2(rcrAz31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动得到圆柱坐标的运动方程形式rUr 2() 2rAcrrzUz 2() 2rAczr上面两个方程表示，当消除角速度后在r和z方向的运动，上的运动方程。也就是说，它表示的是一个以角速度旋转的子午面31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动4. 约化电位表示的运动方程一
9、项由磁位产生的运动，方程的表示不简便，如果令得到的运动方程包括两项，一项由电位产生的运动，2()2rAcQUr称为约化电位，运动方程可以简化为rQerm 0zQezm 031旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动5. 约化电位表示的能量守恒同样可以证明，用约化电位表示的运动方程遵从能量守恒定律。r z 将上面第一式乘以，第二式乘以後，两个方程将加，有00()QQdQm rrm zze rzerzdt 积分后得eQzrm)(2220常数 )(2220zrmeQ 或31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l右端项表示粒子在子午面方向运动的动能，总能量为旋转运动的动能加上子午面
10、方向的动能。l可以看出，与静电场的电位意义不同，约化电位与磁场分布有关，与粒子初始状态有关，即与000200Arremc有关。 这说明，发射点在磁场所处的位置影响粒子运动。31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动6. 圆柱坐标的轨迹方程 圆柱坐标下的运动方程，可以通过坐标变换，得到轨迹方程。 利用下列变换：cosrx sincosrrxsinry cossinrry可以得到柱坐标的能量关系式：2222222zrrzyxeUzrrmzyxm)(2)(222220222031旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动因此可以表示为 z 对 t 的微分形式为：eUrrzm) 1(2
11、2222022221222012)1 (2rrUrrUmez 由于t的微分算子可以表示为：dzdzdtdr zr z 而r的二阶微分为 )( r zdzdzr 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动r 将和代入到第一个表示 r 分量的运动方程中zBerrUerrm )(20)()(120zrBrBzermdtdrr zr z 22212rrUz rrrUr zr22212因此22212rrUz )12(12222222rrrUdzdrrUr 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动zBerrUerrm )(20由方程2 rBrrUrz得到zBrrrrUrUUrrrrr
