误差传播定律.

《误差传播定律.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《误差传播定律.（44页珍藏版）》请在文档大全上搜索。

1、第二章第二章 偶然误差的统计特性与精度指标偶然误差的统计特性与精度指标本章重点本章重点 1.正态分布与偶然误差的规律；正态分布与偶然误差的规律； 2.衡量精度的指标；衡量精度的指标； 3.精度、准确度、精确度以及测量不确定度的概念；精度、准确度、精确度以及测量不确定度的概念；2-1 正态分布正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。为什么正态分布是一种重要分布？为什么正态分布是一种重要分布？（1）设有相互独立的随机变量）设有相互独立的随机变量X1，X2，Xn,其总和为其总和为X= Xi,无论这些随无

2、论这些随机变量原来服从什么分布，也不论它们是同分布或不同分布，只要它们具有机变量原来服从什么分布，也不论它们是同分布或不同分布，只要它们具有有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和X的影响都是均匀地小，的影响都是均匀地小，即没有一个比其他变量占有绝对优势，其总和即没有一个比其他变量占有绝对优势，其总和X将是服从或近似服从正态分布将是服从或近似服从正态分布的随机变量。的随机变量。 换句话说，当对某个量进行观测时，总是不可避免地受到若干偶然因换句话说，当对某个量进行观测时，总是不可避免地受到若干偶然因素的影响，其中每一个引起的基本误差项为素的影响

3、，其中每一个引起的基本误差项为i，而总的测量误差，而总的测量误差 = i，如，如果每一个果每一个对其总和对其总和 的影响都是均匀地小，那么，总和的影响都是均匀地小，那么，总和 就是服从正态分布就是服从正态分布的随机变量。的随机变量。（2）有许多种分布，如二项分布、）有许多种分布，如二项分布、t分布等等，当分布等等，当n 时，它们多趋近于时，它们多趋近于正态分布，或者说许多种分布都是以正态分布为极限分布的。正态分布，或者说许多种分布都是以正态分布为极限分布的。一、一维正态分布一、一维正态分布1.概率密度概率密度:其中其中和和是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机是分布密度的两个

4、参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机变量数字特征为变量数字特征为和和的正态分布，一般记为的正态分布，一般记为 x 。)x(21exp21f(x)x(e21)x(f222)x(2 或写为或写为),(N2.一维正态随机变量一维正态随机变量X的数学期望和方差的数学期望和方差推导：推导：作变量代换，令作变量代换，令则有则有 因为因为 故故等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编概率统计原理在测量中的应用概率统计原理在测量中的应用293页。页。 xdx)x(f)x(E 222dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D dxe21xdx)x(xf)X(E22)x

5、(21 dtdx,tx,xt 2dte0)t21d(-e -dte tdte2dte t2dte )t(21)X(E222222t212t21t21t21t21t21 22)X(E数学期望数学期望 有甲乙两射手他们射击技术如下表：有甲乙两射手他们射击技术如下表：击中环数x 8 9 10 随机量概率概率 P甲乙 0.3 0.1 0.6 0.2 0.5 0.3试问哪一个射手技术好呢？试问哪一个射手技术好呢？ 甲：甲：80.3+90.1+100.6=9.3 乙：乙： 80.2+90.5+100.3=9.1平均起来甲的技术好些。这种平均值就是随机变量的数学期望。平均起来甲的技术好些。这种平均值就是随机

6、变量的数学期望。定义定义1.1：设离散型的随机变量的分布律为设离散型的随机变量的分布律为 PX=xi=pi ，i =1,2, 若级数若级数 绝对收敛，则称级数绝对收敛，则称级数 为随机变量为随机变量X的数学期的数学期望或算数平均值，记为望或算数平均值，记为i1iipx i1iipx i1iipx)X(E 定义定义1.2：若连续型的随机变量若连续型的随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，若积分，若积分绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分 为为X的数学期望或平均值，记为的数学期望或平均值，记为 dx)x(xf dx)x(xf dx)x(xf)X(E一维正态随机变量一维正态随机变量X的数学期望

7、的数学期望 dx)x(fe2dxe21)2)-(xd(-e2dxe2)d(x2xdxe21)(xdxe21xdx)x(xf)X(E22222222222222)x(21)x(2122)x(21)x(21)x(21)x(21)x(21推导：推导：dx2)-2(x)2)-(xd(222 概率概率=10e122)x(21 xxee 由由数学期望看出数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均值的离散程度，最直观的方

8、法求偏差的数学期望，即值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即但上式带有绝对值，运算不方便，通常用但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 来度量随机变量相来度量随机变量相对其均值的离散程度。对其均值的离散程度。方差定义：方差定义：设设X是一随机变量，若是一随机变量，若 存在，则称之为随机变量存在，则称之为随机变量的方差，记为的方差，记为 XEXE 2XEXE 2XEXE 2XEXEXD 在应用中为了与随机变量有相同的量纲，引入在应用中为了与随机变量有相同的量纲，引入标准差标准差（或（或均方差均方差），记），记为为 XDX 由定义可知，方差就是随机变量由定义可知，方差就是随机变量X的函数的函

9、数 的数学期的数学期望，对于离散型的随机变量，若望，对于离散型的随机变量，若X的分布律为的分布律为 则有则有 2XEXXg ，2 , 1i,pxXPii 212iii21iipn1pXExXD对于连续型的随机变量对于连续型的随机变量X，若，若X的概率分布密度函数为的概率分布密度函数为f(x)，则有，则有 22dx)x(Ex)x(f)X(D 推导推导 dxe2xdx)x(f)x(Ex)X(D222x22 dtdx,tx,xt 2t-dte2dtet2dte2tXD22t-22t-222t-22222 2t-22t-22ev,dtdu,2tdedvt,u 令令 dte02dtete2XD2t-22

10、t-2t-2222 2t21XD2dte2 dxuvuvdxvu 222dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D 推导推导作变量代换，令作变量代换，令即即证毕。证毕。dtdx,xt dxuvuvdxvu,ev,dtdu),2t(dedv, tu)2t-de t2-dtet2dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D2t22t22t22t22222222则则有有设设（ 222t2t22t2222)dtete(2dtet2)X(D222 3.一维正态随机变量出现在给定区间一维正态随机变量出现在给定区间 内的概率内的概率则有则有由正态分布概率数值表查得：由正态分布概率数值表查得：)k,k( dx2

11、)x(Ex(exp21dx)x(f)kxk(Pkk22kk xtdt2texp22dt2texp21)kxk(Pk02kk2 683. 0)(xp955. 0)22(xp997. 0)33(xp如果令如果令二、二、N维正态分布维正态分布 设随机向量设随机向量 服从正态分布，则服从正态分布，则n维正态分布的随机向维正态分布的随机向量量X的联合概率密度函数是的联合概率密度函数是n维正态随机变量维正态随机变量 的数学期望和方差（的数学期望和方差（数字特征数字特征）分别为）分别为其中：其中： 是随机变量是随机变量Xi的方差，的方差， 是随机变量是随机变量Xi对随机变量对随机变量Xj的互协方差。的互协方