人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷

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1、-X八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1 .已知0P平分ZAOB, ZDCE的顶点C在射线0P上，射线CD交射线0A于点F,射线CE交射线0B于点G.(1) 如图1,若CD_LOA, CE_LOB,请直接写出线段CF与CG的数呈：关系；(2) 如图2,若ZAOB=120e, ZDCE二ZAOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理 由【答案】(1) CF二CG； (2) CF二CG,见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.结论：CF二CG,作CM1.0A于CN_LOB于N,证明 CMF'CNG,利用全等三角形 的性质即可解 决问题.【详解】解：(

2、1)结论：CF=CG；证明：VOP 平分 ZAOB, CF ± OA, CG J_ 0B,CF二CG (角平分线上的点到角两边的距离相等)；过点 C 作 CM_LOA, CNXOB,TOP平分ZAOB, CM ± OA, CN _L OB, ZAOB二220叫 . CM=CN （角平分线上的点到角两边的 距离相等），A ZAOC二ZBOC二60八（角平分线的性质），VZDCE=ZAOC, Z AOC= Z BOC= Z DCE=605, ZMCO=905-605 二 30 签 ZNC0=905-605 =30. . ZMCN=305+30-二605,AZMCN二ZDCE,I

3、 ZMCF=ZMCN-ZDCN, ZNCG 二 ZDCE-ZDCN,AZMCF二ZNCG,在 AMCF 和 ZkNCG 中,ZCMF 二乙 CNGCM = CN乙 MCF 二乙 NCGAAMCFlNCG (ASA), CF=CG (全等三角形对应边相等)：【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平 分线的性质的应用，熟练证明三角形全等.2.如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA 二 PE, PE 交 CD 于 F(1)证明：POPE；(2)求z CPE的度数：(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD

4、,苴他条件不变，当Z ABC二120。时，连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.图1【答案】(1)证明见解析(2) 90°图2 AP二CE【解析】【分析】、根据正方形得出AB=BC, ZABP二ZCBP=45° ,结合PB二PB得出 ABP "CBP,从而得 出结论； (2)、根拯全等得出 ZBAP=ZBCP, ZDAP二ZDCP,根据 PA二PE 得出 ZDAP二ZE,即 ZDCP二ZE,易得答案； 、首先证明AABP和ACBP全等,然后得出PA二PC,ZBAP二ZBCP,然后得出ZDCP二ZE,从而得出ZCPF二ZEDF=60°

5、,然后得出AEPC是等边三角形，从而 得出AP二CE.【详解】、在正方形 ABCD 中，AB=BC, ZABP二ZCBP二45° ,在 AABP 和 ACBP 中，又 V PB=PB AAABP"ACBP (SAS) , /. PA=PC, VPA=PE, PC=PE；(2)、由(1知.AABP'CBP, . ZBAP二ZBCP, AZDAP=ZDCP, PA 二 PE, ZDAP 二 ZE, ZDCP 二 ZE, VZCFP=ZEFD (对顶角相等)，A180° - ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - ZE, 即ZCPF二ZED

6、F二90° ： (3)、AP = CE理由是：在菱形 ABCD 中，AB 二 BC, ZABP=ZCBP,在 ZkABP 和 ACBP 中，又 T PB=PB ZkABP 仝 ZCBP (SAS), ' PA 二 PC, ZBAP 二 ZDCP,VPA=PE, ' POPE. ZDAP 二 ZDCP, V PA=PC AZDAP=ZE, . ZDCP=ZE VZCFP=ZEFD (对顶 角相等)，A1800 - ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - ZE, 即ZCPF二ZEDF=180° - ZADC=180° - 120&

7、#176; =60° , AAEPC 是等边三角形，/. PC=CE, AAP二CE 考点：三角形全等的证明3.如图，在AABC中，ZC=90% AC=BC=4cm,点£ )是斜边A3的中点点E从点3出发以 lcm/s的速度向点C运动，点F同时从点C出发以一圮的速度沿射线CA方向运动，规左当点E 到终点C时停止运动设运动的时间为x秒，连接DE、DF (2) 当x=I且点F运动的速度也是lcm/s时，求证：DE二DF；(3) 若动点F以3cm/s的速度沿射线C4方向运动，在点E、点F运动过程中，如果存 在 某个时间”，使得AADF的而积是A5DEW积的两倍，请你求出时间的值.

8、4【答案】(1) 8; (2)见解析： m或4【解析】【分析】(!)直接可求AABC的面积；(2) 连接CD,根据等腰直角三角形的性质可求：ZA二ZB二ZACD二ZDCB=45即BD 二 CD,且 BE=CF,即可证CDLZkBDE,可得 DE 二 DF；(3) 分AADF的面积是ABDE的而积的两倍和ABDE与AADF的而积的2倍两种情况讨论，根 据题意列出方程可求X的值.【详解】 解：VSaabc=- xACxBC2/ SAABC二一x4x4=8 (cm2)故答案为：8如图：连接CDVAC=BC, D 是 AB 中点/. CD 平分 ZACB又 VZACB=90° Z A二 Z

9、B= Z ACD= Z DCB=45° ' CD - BD依题意得：BE=CFAlt A CDF 与 ABDE 中BE = CF< ZB = ZDCABD = CDAACD厂ABDE (SAS) ' DE 二 DF (3)如图：过点 D 作 DM J_ BC 于点 M,DN ± AC 于点 N,VAD=BD, ZA=ZB=45°. ZAND=ZDMB=90° AAADMABDM (AAS)ADN=DMP| Saadf=2Sabde 1 1一xAFxDN=2x xBExDM2 2A |4-3x|=2x.4/. Xl=4t X2二一4综

10、上所述：x二一或4【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判左，利用分类思想解决问题是本题的 关键.4.如图，在“IBC中，ZBAC=90° , AB = AC, AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，3D_L4E于D, CEJ_4E于E(1)求证：BD = DE + CE.(2)若将直线AE绕点A旋转到图的位置时(BD<CE),其余条件不变，问3D与DE、CE的关系如何？请予以证明.【答案】(1)见解析：(2) BD=DE-CE,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据已知利用AAS判泄ABD9/CAE从而得到BD=AE, AD=CE,因为AE二AD+

11、DE,所 以BD- DE+CE：(2)根据已知利用AAS判上ABD9/kCAE从而得到BD=AE, AD=CE,因为AD+AE 二 BD+CE,所以 BD=DE-CE.【详解】解：(1) V ZBAC=90° , BD ± AE, CE ± AE,AZBDA二ZAEC=90%V ZABD+ZBAE=90 ZCAE+ZBAE=90°AZABD=ZCAEtTAB 二 AC,在 ZkABD 和 ACAE 中,ZBDA = ZAEC< ZABD = ZCAEAB = ACAAABDACAE (AAS),ABD二AE, AD 二 CE,TAE 二 AD+DE