数值计算引论(第二版)三四五章习题解答

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1、第三章习题解答思考题1.（a）仅当稀疏矩阵是病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法才会失败。（b）系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的。 （c）两个对称矩阵的乘积仍然是对称的。 （d）如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异。 （e）两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵。（f）一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵。（g）一个奇异的矩阵不可能有LU分解。 （h）奇异矩阵的范数一定为零。 （i）范数为零的矩阵一定是零矩阵。（j）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。2.全主元Gauss消去法与列主元Gauss消去法的基本区别是什么？它们各有什么优点？解

2、答：区别：主元的选取方式不同，全主元消去法每步选取绝对值最大的元素作为主元素，列主元消去法每步选取一列中最大的元素作为主元素。优势：全主元算法复杂，稳定性好；列主元算法简单，稳定性差。4.满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？（a）矩阵的行列式小； （d）矩阵的条件数小（b）矩阵的范数小； （e）矩阵的条件数大（c）矩阵的范数大； （f）矩阵的元素小解答：（e）矩阵的条件数大矩阵奇异的本质原因是有0特征值，当矩阵的某个特征值的模远小于其他特征值的模，那么这个矩阵就接近奇异。矩阵的条件数定义为 当我们选取因此，矩阵的条件数越大矩阵越接近奇异。1( )cond AAA2Amax2min()(

3、)()TTA Acond AA A8.Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法相比（a）它们的基本差别是什么 （c）哪种方法更节省存储空间（b）哪种方法更适合并行运算 （d）Jacobi方法是否总是更快解答：（a）迭代过程新值使用问题。 （b）Jacobi（c） Gauss-Seidel （d）否习题4.考虑矩阵 ，试求A的Cholesky分解。解答：方法1：Matlab运行 R=chol（A）R =1.4142 -0.7071 0 0 0 1.2247 -0.8165 0 0 0 1.1547 -0.8660 0 0 0 1.1180方法2：利用Cholesky定义求解2112112

4、112A6.矩阵证明：求解以 为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的，而Gauss-Seidel方法是发散的；求解以 为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel迭代收敛，而Jacobi方法是发散的。解答： ：Jacobi迭代 Gauss-Seidel迭代 12122211111,222221112AA1A2A1A1022101220BID A ( )01B1022()021002MDLU()21M 矩阵：Jacobi迭代 Gauss-Seidel迭代11102210111022BID A 2A5( )12B11102211()0221002MDLU2()12M7.矩阵（a）参数a取

5、什么值时，矩阵时正定的。（b）a取什么值时，求解以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的。解答：（a）A的各阶顺序主子式大于零，则A为正定矩阵（b）根据迭代收敛条件111aaAaaaa2210(1) (21)0aaa112a( )1B( )21Ba1122a实验题4.考虑方程组Hx=b，其中系数矩阵为Hilbert矩阵，适当选择问题的维数，并通过首先给定解再定出右端的办法确定问题。用Gauss消去法（即LU分解）求解方程组，其结果如何？计算结果说明了什么？解答：A=hilb(3); %产生三阶Hilbert矩阵x=1 2 3; %假设解向量为x 结果：b=A*x; %确定等式右端 x

6、_lu=b=b+-0.1 0.1 -0.1; %增加扰动 -6.5000L U P=lu(A); %矩阵lu分解 42.8000y_lu=L(P*b); %根据lu分解求解x -36.0000 x_lu=Uy_lu; ,1(), ,1,2,.1i jn ni jHhhi jnij第四章思考题1.（a）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近函数。（b）对给定的连续函数，构造其三次样条插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。（c）高次的Lagrange插值多项式很常用。（d）样条函数插值具有比较好的数值稳定性。 习题

7、3.以0.1，0.15，0.2为插值节点，计算 的二次Lagrange插值多项式 ，比较 和 ，问定理4.1的结果是否适用于本问题。解答：首先构造二次Lagrange插值多项式( )f xx2( )P x2(0)P(0)f1230.1,0.15,0.2yyy1(0.15)(0.2)( )(0.1 0.15)(0.1 0.2)xxl x2(0.1)(0.2)( )(0.150.1)(0.150.2)xxlx3(0.1)(0.15)( )(0.20.1)(0.20.15)xxl x321( )( )k kkP xy lx 代入x=0， 根据定理4.1 f(x)的二阶导数在x=0处不连续 不适用于该

8、定理2(0)0.1406P(1)1( )( )( )(1)!nnnfR xxn5223(0)(0)16R22(0)(0)PR321( )4fxx 5.（a）求 在节点上的三次自然样条插值（即 ）。（b）用同样的数据做Lagrange插值。将f（x）及它的三次自然样条插值和Lagrange多项式插值用Matlab画出来，比较它们的结果。解答：( )f xx123452,0.5,0,1.5,2xxxxx 150MM23451.5,0.5,1.5,0.5hhhh2333344454210036312121636123412004363hhhhhhhAhhh020Tb 2344932943MMM 插值