第五节泰勒公式与泰勒级数讲稿、第六节函数的间接展开(泰勒级数)2013-3-26(修改)

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1、例（1）（3） (90.5) 求级数的收敛域.解 令，级数,由知,因此当即时原级数收敛.当时,原级数为收敛,当时,原级数为收敛.所以原级数收敛域为.（2）(92.3) 级数的收敛域为.答 令 对于,由,于是收敛半径,则内收敛.当和时,原级数都为发散,所以收敛域为.例4求幂级数的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数求收敛域时先作变量替换）解 令,幂级数变形为,， 当时原级数为收敛，当时，发散，故 原级数收敛半径，收敛域为.注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换. §7.5 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与Taylor展式的关系.

2、重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.难点: 理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：引例：近似表达函数的多项式的特性无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当很小时，设，则.用表示 在处值更为接近.猜想将换成则在处两函数有直到n阶相同的导数，其在处接近的程度更高，即.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数在的某一邻域内有直到阶的导数，令，再令 ,若 ,.（表示的函数值相等）则 （），于是.证明：因, , , ,那么 ,所以 , .一、泰勒（）公式 在讲第三章微分的应

3、用时我们导出了近似公式（ 当很小时）从几何上看，这是在点附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在函数改变量的表达式中略去了一个关于（）的高阶无穷小量（时）.但公式在实际计算中的精度不高，其误差为，可以推出.如果需要精度更高些，可将（）的高阶无穷小分离成两部分（时）.保留与同阶的无穷小量，略去的高阶无穷小量，此时有，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用次多项式近似表示，当很小时，将多项式写成以（）的方幂展开的形式，其中是待定系数.我们知道具有任意阶的连续导数，将的多项式两边求一阶到阶导数，并令可得于是可以写成 若函数在的某一邻域内一阶到阶的导数都存在，可以做出一个次多项式 不一定等于，但它可以

4、近似表示，它的近似程度可以由误差来确定.设，如果能确定的值，则就确定了.【定理7.10】（泰勒公式）设在含有的区间内有直到阶的连续导数,则，可以按（）的方幂展开为.此式称为按的幂展开阶泰勒公式.其中 称为拉格朗日型余项, 介于与之间.证明：不妨设.令,由条件知：(连续次使用柯西中值定理可以证明) ,显然 , .那么 ,其中 ，所以, 介于与之间.另证：因为在含有的区间内有直到阶的连续导数,所以对于，可将写成 为求出的值，引进辅助函数 显然 ，在区间上连续（设），在区间内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点，使得，因为 化简整理得 所以 ，而 由 ，于是，介于与之间.在公式中当时，公式可化为麦

5、克劳林公式其中 或令，则 例1 求的阶麦克劳林公式.解 因,其中 ，那么,（）.例2 求的麦克劳林公式.解 因, .有 ,，那么,(或都可以)其中：,.（或，）特别地：时，, ； 时，, ； 时，, .例3 按的乘幂展开多项式.解 ,所以 .二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？2.问题：已知函数有 .问：(1) 对于一般的函数是否也有？(2) 如果能展开,项的系数如何确定?(3) 展开式是否唯一?(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数?3.【定