金融数学引论简化版(利息理论部分)1-3

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1、1利利 息息 理理 论论参考书：金融数学引论参考书：金融数学引论 吴岚吴岚 黄海黄海 编著编著北京大学出版社北京大学出版社 20052第一章第一章 利息基本计算利息基本计算n利息基本函数利息基本函数n利率利率n现值现值n名利率与名贴现率名利率与名贴现率n利息力与贴现力利息力与贴现力n利息基本计算利息基本计算 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同

2、的。因此，胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。酬。定义定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权所得的报酬。让货币使用权所得的报酬。利息的计算与累积函数的形式、利息的计息次数有关。利息的计算与累积函数的形式、利息的计息次数有关。41.1 利息基本函数利息基本函数 一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的

3、钱款以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时间后收回的总金额称为累积值。间后收回的总金额称为累积值。累积值累积值=本金本金+利息利息假定假定：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻累积值均可确定，且设在投资期间内不再加任何时刻累积值均可确定，且设在投资期间内不再加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由利息效应产生的。说都是由利息效应产生的。自融资假设自融资假设5定义定义1.1 考虑一单位本金，记原始投资为考虑一单位本金，记原始投资

4、为1时在时在任何时刻的累积值为任何时刻的累积值为a(t)，称为，称为累积函数累积函数。a(t)的性质：的性质：(1) a(0)=1; (2) a(t)通常为增函数；通常为增函数；典型累积函数典型累积函数:itta1)(iteta)(,.2 , 1,)1 ()(titat1.1.1 1.1.1 累积函数累积函数6定义定义1.2 A(t)=ka(t)称为称为总量函数总量函数，它，它给出原始投资为给出原始投资为k时在时刻时在时刻t=0的累积值。的累积值。记从投资之日算起第记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为个时期所得到的利息金额为In.则则In=A(n)-A(n-1) (1.1)注注 设设t

5、为从投资之日算起的时间，用来度量时间的为从投资之日算起的时间，用来度量时间的单位称为单位称为“度量时期度量时期”或或“时期时期”，最常用的时期，最常用的时期为一年为一年以以I（t)表示表示t时刻的利息额，则时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)7定义定义1.3 时间区间时间区间 内总量函数内总量函数A(t)的变化量的变化量(增量增量)与期初货币量的比值称为在时间区间与期初货币量的比值称为在时间区间 内的利率内的利率,记为记为为了表示货币价值的相对变化幅度为了表示货币价值的相对变化幅度,度量利息度量利息的常用方法是计算所谓的的常用方法是计算所谓的利率利率.,21tt,21tt)()()()

6、(1,112,2121tAItAtAtAitttt特别地特别地,当当 时时, 记记ntnt21, 1表示从投资之日算起第表示从投资之日算起第n个时期的利率个时期的利率.) 1() 1() 1()(nAInAnAnAinn8定义定义1.4 (实实)利率利率i是指在某一时期开始时投资是指在某一时期开始时投资1单位本金时，在此时期内应获得的利息。单位本金时，在此时期内应获得的利息。如：一年期存款，年利率如：一年期存款，年利率i=2.25%, 故故a(1)=1+2.25%本金本金100元，年末累积值为元，年末累积值为100(1+2.25%)=102.25元元如果记息期为标准时间单位如果记息期为标准时间

7、单位, 通常是一年通常是一年,一月或一月或一季一季,或或”一个时期一个时期”,则所得利率常称为实则所得利率常称为实(质质)利利率率.显然，显然， A(n)=A(n-1)(1+in)注（注（1)利率常用百分比表示。利率常用百分比表示。 （2）本金在整个时期内视为常数）本金在整个时期内视为常数 （3)利率是一种度量，其中利息在期末支付。它利率是一种度量，其中利息在期末支付。它可用累积函数确定如下：可用累积函数确定如下：)()()(112,21tatataitt1.1.1. 单利和复利单利和复利定义定义1.51.5 若有这样一种累积计算方式若有这样一种累积计算方式:1:1个货币单位个货币单位的投资，

8、在每一时期中得到的的投资，在每一时期中得到的利息利息为常数，则称对为常数，则称对应的利息计算方式为简单利息计算方式应的利息计算方式为简单利息计算方式, ,简称简称单利单利方式方式. .对应的利息称为对应的利息称为单利单利. . 结论结论1.2 在单利方式下在单利方式下, 其累积函数为线性的其累积函数为线性的: a(t)=1+it 对整数对整数 t 0其中i称为单利率.定义定义1.6 若有这样一种累积计算方式若有这样一种累积计算方式: 1个货币单位个货币单位的投资，经过任何一个单位的计息期产生的的投资，经过任何一个单位的计息期产生的利率利率为为常数，则称对应的利息计算方式为复合利息计算方常数，则

9、称对应的利息计算方式为复合利息计算方式式,简称复利方式简称复利方式.对应的利息称为对应的利息称为复利复利. 复利计算模式的基本思想是复利计算模式的基本思想是:利息收入应该自动利息收入应该自动地被记入下一期的本金地被记入下一期的本金.复合利息计算方式中的复合利息计算方式中的”复合复合”一词意味着将利一词意味着将利息经过再投资后再次产生新利息的过程息经过再投资后再次产生新利息的过程.11定义定义1.6 若有这样一种累积计算方式若有这样一种累积计算方式: 1个货币单位个货币单位的投资，经过任何一个单位的计息期产生的的投资，经过任何一个单位的计息期产生的利率利率为为常数，则称对应的利息计算方式为复合利

10、息计算方常数，则称对应的利息计算方式为复合利息计算方式式,简称复利方式简称复利方式.对应的利息称为对应的利息称为复利复利. 复利计算模式的基本思想是复利计算模式的基本思想是:利息收入应该自动利息收入应该自动地被记入下一期的本金地被记入下一期的本金.复合利息计算方式中的复合利息计算方式中的”复合复合”一词意味着将利一词意味着将利息经过再投资后再次产生新利息的过程息经过再投资后再次产生新利息的过程.12结论结论1.3 1.3 复利复利的累积函数是的累积函数是a(t)=(1+i)a(t)=(1+i)t t 对整数对整数t t 0 0其中i称为复利率.单利与复利的异同单利与复利的异同(1)(1)单利与

11、复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时单利与复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时期，复利比单利产生较大的累积值，而对较短的时期则相反。期，复利比单利产生较大的累积值，而对较短的时期则相反。(2)(2)增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即数。即 对单利：对单利：a(t+s)-a(t)a(t+s)-a(t)不依赖于不依赖于t t 对复利：对复利：a(t+s)-a(t)/a(t)a(t+s)-a(t)/