结构动力学单

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1、 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健第第3 3章章 单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动3.1 3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动、刚度法、刚度法y(t)mk假定位移向右为正。假定位移向右为正。FSFIm式中式中FS为弹性恢复力：为弹性恢复力：FS=k11 y(t)FI为为 惯性力：惯性力：)(tymFI 由由达朗伯尔达朗伯尔原理：原理：)0( X0ISFF以隔离体的平衡条件来建立运动方程以隔离体的平衡条件来建立运动方程刚度法刚度法1 1、运动微分方程的建立、运动微分方程的建立kmy(t)

2、 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健由由0)()( tkytym 得得单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动设设km上面方程可写成上面方程可写成0)()(2 tyty 0ISFF 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健、柔度法、柔度法y(t)mkFI由由达朗伯尔达朗伯尔原理，质点原理，质点m在在t时刻的位移时刻的位移y(t)可以看成是可以看成是t时刻的惯性力引起的（瞬时）静位移，可将其写成：时刻的惯性力引起的（瞬时）静位移，可将其写成：)()()(1111tymtFtyI 1 为柔度系数，为柔度系数，110)()(11tytym 0

3、)(1)(11tytym 0)()(11tyktym （与刚度法的结果相同）（与刚度法的结果相同）按结构的位移条件来建立运动按结构的位移条件来建立运动方程方程柔度法。柔度法。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健2 2、运动微分方程的解、运动微分方程的解0)()(2 tyty 常系数线性齐次常微分方程常系数线性齐次常微分方程方程的通解可写成方程的通解可写成( )cossiny tBtCtB和C为由初始条件确定的常数当当t=0时时由初始条件：由初始条件：000)0()0()0(vvyyyy或；（初速度和初位移）（初速度和初位移）代入位移表达式，得：代入位移表达式，得

4、：00yByC； 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健tvtyty sincos)(00 则则自由振动由两部分组成：自由振动由两部分组成：一部分是由初始位移引起的，表现为余弦变化规律；一部分是由初始位移引起的，表现为余弦变化规律；一部分是由初始速度引起的，表现为正弦变化规律；一部分是由初始速度引起的，表现为正弦变化规律；两者之间相位差为直角，即后者落后于前者两者之间相位差为直角，即后者落后于前者900； 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健设设:2200020,;vyaytgy则位移则位移y(t)可写成可写成:)sin()( taty

5、a 质点的最大位移，称为质点的最大位移，称为振幅振幅。称为称为初相角初相角，表示质量开始运动时的状态，表示质量开始运动时的状态。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健可以看出，无阻尼单自由度体系自由振动是简谐振动，可以看出，无阻尼单自由度体系自由振动是简谐振动， 2 T 2秒内振动次数，称为秒内振动次数，称为圆频率圆频率，简称，简称为为频率频率；T 2 振动周期；振动周期；频率的单位为：频率的单位为：rad/s频率的计算：频率的计算：stgmggmmk111111111mgst假设沿假设沿y方向施加大小等于重量方向施加大小等于重量mg的的荷载时，引起的沿荷载时，引

6、起的沿y方向的静位移。方向的静位移。g 为重力加速度。为重力加速度。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健从运动微分方程的解可以看出，单自由度体系的自由振动完从运动微分方程的解可以看出，单自由度体系的自由振动完全取决于自振频率，两个具有相同自振频率的结构，振动效全取决于自振频率，两个具有相同自振频率的结构，振动效果是相同的。果是相同的。从自振频率的计算公式可以看出，结构的自振频率自与结构从自振频率的计算公式可以看出，结构的自振频率自与结构自身的质量和刚度有关，初始条件只影响振幅和初相位，不自身的质量和刚度有关，初始条件只影响振幅和初相位，不改变自振频率，因此，自振

7、频率是结构的固有特性，反映了改变自振频率，因此，自振频率是结构的固有特性，反映了结构的动力特性。结构的动力特性。自振频率与结构的质量成反比，与结构的刚度成正比。自振频率与结构的质量成反比，与结构的刚度成正比。随随st的增大而减小，若将质点置于结构上产生最大位的增大而减小，若将质点置于结构上产生最大位移处，可得到最低的自振频率和最大的自振周期。移处，可得到最低的自振频率和最大的自振周期。自振周期与结构的质量成正比，与结构的刚度成反比。自振周期与结构的质量成正比，与结构的刚度成反比。*单自由度体系的自由振动计算，单自由度体系的自由振动计算，主要就是计算自振频率或周期。主要就是计算自振频率或周期。

8、北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健轴向振动（纵向振动）轴向振动（纵向振动）当质量沿杆件轴向作振动时，称为轴向振动。当质量沿杆件轴向作振动时，称为轴向振动。11( )( )0mz tk z t2( )( )0z tz t11EAkl 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健扭转振动扭转振动质量圆盘绕杆轴的质量质量圆盘绕杆轴的质量惯性矩为惯性矩为J，单位扭转角，单位扭转角时所加的扭矩为时所加的扭矩为k，取，取圆盘为隔离体，由圆盘为隔离体，由 M=0，得得kJ( )( )0Jtkt2( )( )0tt 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力

9、学教研室结构力学教研室罗健例题例题l/2l/2EIm求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。mm3.2 3.2 频率计算举例频率计算举例 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题mll/2EI求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。mllEI2EI 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。EIEIl lmmEI1=l ll llEI=C刚度系数计算方法刚度系数计算方法 利用位移基本体系利用位移基本体系 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健 北京建

10、筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健3.3 3.3 有阻尼体系的自由振动有阻尼体系的自由振动 无

11、阻尼自由振动总是以动能和势能交换为特征，无阻尼自由振动总是以动能和势能交换为特征，没有考虑结构体系的能量耗散，即结构体系的振动过没有考虑结构体系的能量耗散，即结构体系的振动过程中总能量保持不变。程中总能量保持不变。 与能量大小有关的振幅始终保持不变，永不衰减。与能量大小有关的振幅始终保持不变，永不衰减。 但在实际中，任一振动过程随时间的推移，振幅总但在实际中，任一振动过程随时间的推移，振幅总是逐渐衰减额，最终消失。质量是逐渐衰减额，最终消失。质量m m静止在静力平衡位置静止在静力平衡位置这种振幅随时间而减少的振动称为阻尼振动。这种振幅随时间而减少的振动称为阻尼振动。 北京建筑工程学院北京建筑工