计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式

《计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式（48页珍藏版）》请在文档大全上搜索。

1、第7次 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式计算方法计算方法(Numerical Analysis)1. 牛顿柯特斯求积公式2. 牛顿-科特斯求积公式的例子3. 复合求积公式4. 复合求积公式的例子 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算法实现与流程图牛顿柯特斯求积公式采用等距节点的插值型求积公式4.2 牛顿柯特斯求积公式n0kkkbaba)f(xAP(x)dxf(x)dx)，(x)f(xlP(x)n0kkkbakk(x)dxlA 是插值基函数。有关系式 (x)lkdxxxxx(x)dxlAbanki0iikibakk 定义：在插值求积公式中,当所取节点时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes

2、)公式，其中： bxxxan10 是等距i)h(kxxik利用等步长的特点计算积分系数Ak求积节点为： 因此： 将积分区间a, b 划分为n等分, 步长nabha=xa=x0 0 x x2 2x xk kx x1 1x xi ix xn n=b=b dxxxxxAbanki0iikik n),0,1,kh(kaxk)x(x)x)(xx(x)x(xnk1kk1kk0k可以推出： n)h(k1h)(1h)(1)h(kh)(k knknkhk)!(n1)(hk!nknhk)!(nk!1)(a=xa=x0 0 x x2 2x xk kx x1 1x xi ix xn n=b=b d dx xx xx

3、xx xx x( (x x) )d dx xl lA Ab ba an nk ki i0 0i ii ik ki ib ba ak kk khdth)i)(t(hk)!(nk!1)(nn0nki0inkndt)i)(t(k)!(nnk!1)(a)(bn0nki0ikn nab注：最后一步用到：h作变量替换thaxihaxi并注意得：代入插值求积公式(4.1)有 称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数引进记号(柯特斯系数)则n0,1,.,kdt,)i)(t(k)!(nnk!1)(Cn0nki0ikn(n)k n0,1,.,k ，a)C(bA(n)kkn0kk(n)kba)f(xCa)(bf

4、(x)dx1. 将区间a, b分为n等分，则n+1个柯特斯系数之和为11Cn0kkkkAab1C1a)(bab1Aab1Aab1Cn0kkn0kkn0kk 证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a）柯特斯系数的性质由关系：得：2. Ck是不依赖于积分区间a,b以及被积函数f(x)的 常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。100211)dt(t1!0!11C例如，当n=1时 100121tdt0!1!11)(Cdt)i)(t(k)!(nnk!1)(Cn0nki0ikn(n)k 似曾相识当n=2时，由 2020612)dt1)(t(t2!0!21)(C2011322)dtt(t1!1!

5、21)(C2002611)dtt(t0!2!21)(CP104 表4-1给出了n从18的柯特斯系数。当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此，实用的只是低阶公式。 dt)i)(t(k)!(nnk!1)(Cn0nki0ikn(n)k似曾相识Newton-Cotes公式柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定对n=6, 7, 8的情况，见教材。nCk11/21/221/62/31/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/90519/28825/9625/144 25/14425/9619/288kha，x)f(xCa)(bf(x)dxkn0k

6、k(n)kba几个重要的低阶求积公式 在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。kha，x)f(xCa)(bf(x)dxkn0kk(n)kba定理4.2 （梯形公式的误差）设f(x)在a,b上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为b)(a,()f12a)(b(f)R31 当b-a1时，误差较大； b-a2时，误差较大； b-a4时，误差较大； b-a4时，误差较小总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积 公式的统一计算公式。n0kkkbaba)f(xAP(x)dxf(x)dx定义：在插值求积公式中,当所取节点时称

7、为牛顿-柯特斯公式： bxxxan10 是等距kha，x)f(xCa)(bf(x)dxkn0kk(n)kbadt)i)(t(k)!(nnk!1)(Cn0nki0ikn(n)k k=0,n n=1，梯形公式；n=2, 辛普生公式；n=4，牛顿-柯特斯公式.Home牛顿-柯特斯求积公式例题例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值 . 10.5dxx(1) 用梯形公式计算 f(1)f(0.5)20.51dxx10.50.51|()f120.5)(1|(f)R|31 0.42677710.707110.250.00736561922|1)41(1281|(2) 用辛卜生公

8、式 11)/2(0.540.560.51dxx10.50.510.75()f28800.5)(1(f)R(4)52误差0.00011510.7071161528800.250.51161528800.50.50.51161528800.51161528800.5)(1(f)R235352| | |0.0001151|(f)R|210.8660340.70711121 0.430930.43093403 1161528800.5)(135(3) 用柯特斯公式计算(n=4, 4等份，5个节点)，系数为 907,9032,9012,9032,907170.87532 0.75120.625320.5

9、7900.51dxx10.50.510.750.8750.6250.43096729.93326 10.3922325.298224.949751801b)(a,()，f4ab9458(f)R(6)74211(6)x29)(27(1615(x)f(0.5,1)，)29)(27)(1615(819458(f)R211742229271615819458229271615819458|(f)R|5721174281428129459458229171158194587770.00000265242882209715224积分的准确值为 可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 0 0. .4 43 30

10、 09 96 64 44 41 1| |x x3 32 2d dx xx x1 10 0. .5 52 23 31 10 0. .5 5梯形公式辛卜生公式 柯特斯公式精度0.4267770.430930.43096例4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分31235)dx7x2x(x的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 解: 辛卜生公式 362f(3)24ff(1)613S由于f(x)是3阶多项式，所以 0(x)f(4)0()f2880a)(bR(f)(4)5辛卜生公式余项 132解:柯特斯公式 知其误差为 0 0R R( (f f) ) 362978125329128353274