近世代数第二章答案

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1、近世代数第二章群论答案§ 1.群的定义1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。例如3_ 2_1 =3_1 =23_2 _1 =1_仁03 2 1 = 3-2 -12. 举一个有两个元的群的例。解：令G xe,a?, G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1)x y z = x y z x,y,z G因为，由于ea二ae二a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参 考第一章，§ 4,习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有aa a =ea = aa aa = ae = a而(1)仍成立。其次，G有左

2、单位元，就是e ； e有左逆元，就是e，a有左逆元， 就是a。所以G是一个群。读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。3. 证明，我们也可以用条件I,H以及下面的条件IV , V来做群的定义:IV G里至少存在一个右逆元a J，能让ae= a对于G的任何元a都成立；V 对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元a_1，能让aa J = e解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件i,ii,iv,v来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。§ 2.单位元、逆元、消去律1. 若群G的每一个元都适合方程x2 = e，那么G是交换群。解：令a和b是G的任意两个元。由题设2ab ab

3、= ab = e另一方面ab ba = ab2a = aea = a2 = e于是有ab ab = ab ba。利用消去律，得ab = ba所以G是交换群。2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。解：令G是一个有限群。设G有元a而a的阶n>2。考察a。我们有an(a* = enne a = a_= e设正整数m<n而am = e，那么同上可得am = e，与n是a的阶的假设矛盾。这样，n也是a"的阶，易见aa否则a2 = aa 1 = e与n > 2的假设矛盾。这样，我们就有一对不同的阶大于2的元a和设G还有元b， b = a， b = a，并且b的阶大

4、于2。那么bJ的阶也 大于2,并且b J - b。我们也有b J - a。否贝Se = b Jb = aa J = b Ja J消去bd得b = a J，与假设矛盾。同样可证bJ = a_1。这样，除a和a， 外，又有一对不同的阶大于 2的元b和bJ。由于G是有限群，而G的阶大于2的元总是成对出现，所以G里 这种元的个数一定是偶数。3假定G是一个阶是偶数的有限群。在G里阶等于2的元的个数一定 是奇数。解：由习题2知，G里阶大于2的元的个数是偶数。但G只有一个 阶是1的元，就是单位元e。于是由于的阶是偶数，得G里阶等于2 的元的个数是奇数。4. 一个有限群的每一个元的阶都有限。解：令G是一个有限

5、群而a是的任一元素，那么不能都不相等。因此存在正整数i, j, i ' j，使 a"=aj，用 a 乘两边，得(1)这样，存在正整数i - j，使（1）成立，因此也存在最小的正整数 m ,使am = e，这就是说，兀a的阶是m。4. 群的同态假定在两个群G和G的一个同态映射之下，a > a。a与a的阶是 不是一定相同？解：不一定。例如，令G是本章1中例2所给出的群而G是该节中例1所给出的的群。那么读者容易证明:n- gn是G的任意元是G到G的一个同态映射。但G的每一元n = 0都是无限阶的，而g的 阶是1。5.变换群1. 假定是集合A的一个非一一变换。会不会有一个左逆元

6、-J使得?解：可能有。例如令A=所有正整数，贝S-:1 1 ,n _ n _ 1 n 一 1显然是A的一个非变换。而A的变换-4 :n ； n 1n A就能使£氓=乞2假定A是所有实数作成的集合。证明，所有 A的可以写成X ax ba和b是有理数， a = 0形式的变换作成一个变换群。这个群是不是一个变换群？ 解：令G是由一切上述变换作成的集合。考察 G的任何两个元素:X- ax ba和b是有理数，aFx ex dc和d是有理数，c=0那么X/. :x ' =( a x )b' = (e a x) b d=(ca)x (cb d)这里ca和cb - d都是有理数，并且

7、ca = 0 所以.仍属于G 。结合律对一般变换都成立，所以对上述变换也成立单位变换xx属于G。容易验证，.在G中有逆，即:1bxx ()aa因此G作为一个变换群。但G不是一个交换群。令i :x x 12 :x 2x那么12 :x(x1) 2 =(x 1)2 =2x 221 :X； (x2) (2x)2x 1213假定S是一个集合A的所有变换作成的集合。我们暂时用符号a ； a 二(a)来说明一个变换。证明，我们可以用d 2 :a r 】2(a) = J 2(a)来规定一个乘法，这个乘法也适合结合律并且对于这个乘法来说，；还是S的单位元。解：令-1和2是S的任意两个元而a是A的任意一个元。那么

8、2(a)和 i 2(a)都是A的唯一确定的兀。因此如上规定.i2仍是S的一个唯一一 确定的元而我们得到了一个S的乘法。令3也是一个任意元，那么(1 2 ) 12 a3=() 1a£( ) 1( 23)a F )1昭3珂)1a()所以(1 2)3 =5( 23)而乘法适合结合律。令是S的任意元。由于对一切a A，都有；(a) = a ,所以；.(a)二；(a)二.(a).；(a)二；(a)二(a)即而；仍是S的单位元。4. 证明，一个变换群的单位元一定是恒等变换。解：设G是由某一集合A的变换组成一个变换群，而；是G的单位元。任取G的一个元-和A的一个元a。由于； = ,有a，(a J，

9、a由于是A的一个一一变换，所以a；=a而；是A的恒等变换。5. 证明，实数域上一切有逆的n n矩阵对于矩阵乘法来说，作成一个群.解：这个题的解法很容易，这里从略。6.置换群/l 23 31. 找出所有s不能和231 !交换的元解：S3有6个元:"123、12 3、广 1 23、<123><132>03广 1 23'12 3、'123 '<231,0 2<321 其中的123、Q23q 23a 31广 12 3'_0 2=广123迄31显然可以和肾交换。通过计算，易见其它三个元不能和1 23,2 31交换第11页共20

10、页第#页共20页2. 把S3的所有元写成不相连的循环置换的乘积解:佃1)，伤1=( 2 3),123丿 '八遛丿' )'1 23 1213=(1 2)，=(1 3)，=（1 2 3）*12 331 2=（1 3 2）第#页共20页第#页共20页3. 证明:(i)两个不相连的循环置换可以交换;第#页共20页第12页共20页解: ( i)看一.的两个不相连的循环置换二和t。我们考察乘积二T第#页共20页使数字1, 2,，n如何变动。有三种情况。(a) 数字一在二中出现，并且二把一变成j。这时由于二和t不相连， j不在T中出现，因而T使j不变，所以匚T仍把一变成j。(b) 数

11、字k在T中出现，并且T把k变成。这时】不在二中出现， 因而二使k不变，所以T仍把变成一。(C)数字m不在;和T中出现。这时二T使m不动。如上考察T二使数字1，2，n如何变动，显然得到同样的结果。 因此-T = T ；。(ii)由于為&曲眛(厂'!:，所以妊勻-怎,3八屯4. 证明一个.循环置换的阶是.。解：一个稳循环置换n =沁片：威的一次方，二次方，次方分别把一变成梯轧锐必。同理把i2变成i2,把.变成.。因此 用十。由上面的分析，若是.，那么浓首：忙。这就证明了， n的阶是。5. 证明-.的每一个元都可以写成(1 2)，(1 3)，(1 n)这- 一个一-循环置换中的若干个