《机械能守恒定律》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机械能守恒定律（40页珍藏版）》请在文档大全上搜索。
1、机械能守恒定律机械能守恒定律 物理学的任务是发现普遍的自然规律。因为物理学的任务是发现普遍的自然规律。因为这样的规律是最简单的形式之一表现为某种物理这样的规律是最简单的形式之一表现为某种物理量的不变性，所以对于守恒量的寻求不仅的合理量的不变性，所以对于守恒量的寻求不仅的合理的，而且也是极为重要的研究方向。的，而且也是极为重要的研究方向。劳厄劳厄高三（高三（2 2）班李伟峰）班李伟峰追寻守恒量追寻守恒量能量能量相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能：物体由于运动而具有的能量叫做动能物体由于运动而具有的能量叫做动能联想：伽利略理想斜面实验联想：伽
2、利略理想斜面实验功功 功有正负，但是标量（力对物体做正功，表示这个功有正负，但是标量（力对物体做正功，表示这个力是动力；反之，为阻力）；力是动力；反之，为阻力）； W=W=FlcosFlcos，适用于计算恒力做功；，适用于计算恒力做功； 可根据可根据F F与与v v的夹角判断功的正负；的夹角判断功的正负； 合力做的功等于各力做功的代数和合力做的功等于各力做功的代数和. .一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功这个力就对物体做了功力和物体在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺力和物体在力的方向上发生的位移，
3、是做功的两个不可缺少的因素少的因素W=W=FlcosFlcos功率功率功率：表示做功快慢的物理量功率：表示做功快慢的物理量功功W W与完成这些功所用的时间与完成这些功所用的时间t t的比值叫做功率的比值叫做功率P=W/tP=W/t 单位：瓦特，符号：单位：瓦特，符号：W W额定功率：发动机正常工作时的最大输出功率；额定功率：发动机正常工作时的最大输出功率；实际功率：发动机实际工作时的输出功率实际功率：发动机实际工作时的输出功率. .关系：关系：P P实实P P额额P P=W/t=W/t=FlcosFlcos/t/t= =FvcosFvcosv v是平均速度时，计算平均功率；是平均速度时，计算平
4、均功率；v v是瞬时速度时，计算瞬时功率是瞬时速度时，计算瞬时功率. .机车启动机车启动恒定功率启动：恒定功率启动：P P不变，不变，v v 由由P=FvP=Fv得得F F由由F-Ff=maF-Ff=ma得得a a当当a=0a=0时，速度最大时，速度最大vmvm=P/F=P/Ff=P/F=P/Ff恒定加速度启动：恒定加速度启动：a a不变，不变，v vF-Ff=maF-Ff=ma得得F F不变不变由由P=FvP=Fv得得P P当当P P增大到增大到P P额时，速度达到额时，速度达到v1v1，匀，匀加速运动结束，仍有加速运动结束，仍有a av1=Pv1=P额额/F/F，匀加速时间，匀加速时间t1
5、=v1/at1=v1/a以后以后v v，由，由P=FvP=Fv得得F F由由F-Ff=maF-Ff=ma得得a a当当a=0a=0时，速度最大时，速度最大vmvm=P=P额额/F=P/F=P额额/Ff/Ff在如图所示的伽利略的斜面理想实验中（斜面在如图所示的伽利略的斜面理想实验中（斜面光滑），一下说法中正确的是（光滑），一下说法中正确的是（ ）A.A.小球从小球从A A到到B B的过程中动的过程中动能保持不变；能保持不变；B.B.小球从小球从A A到到B B的过程中势的过程中势能减少；能减少；C.C.只有小球从只有小球从B B到到C C运动的运动的过程中动能和势能的总和过程中动能和势能的总和保
6、持不变保持不变D.D.小球在斜面小球在斜面CDCD上运动的上运动的最大距离等于最大距离等于ABAB如图所示，在加速向左运动的车厢中，一人用力向如图所示，在加速向左运动的车厢中，一人用力向前推车厢（人与车厢始终保持相对静止），则下列前推车厢（人与车厢始终保持相对静止），则下列说法正确的是（说法正确的是（ ）A.A.人对车厢做正功；人对车厢做正功；B.B.车厢对人做负功；车厢对人做负功；C.C.人对车厢做负功；人对车厢做负功；D.D.车厢对人做正功：车厢对人做正功：解解: :先确定人对车厢的作用力方向和力的作用点的先确定人对车厢的作用力方向和力的作用点的位移方向位移方向, ,这里人对车厢除有手对车
7、厢的推力这里人对车厢除有手对车厢的推力F F外外, ,还有个容易被疏忽的力还有个容易被疏忽的力: :脚对车厢地板的静摩擦力脚对车厢地板的静摩擦力F,F,受力分析如图所示受力分析如图所示. .其中其中F F做正功做正功,F,F做负功做负功. .因为因为F F和和F F大小未知大小未知, ,因此这两个力的总功正负难以确定因此这两个力的总功正负难以确定. .于是将研究对象转换为受力情况较简单的人于是将研究对象转换为受力情况较简单的人, ,在水在水平方向人受到车厢壁向右的力平方向人受到车厢壁向右的力F F和车厢地板对人向和车厢地板对人向左的静摩擦力左的静摩擦力F,F,这两个力的合力使人产生向左加这两个
8、力的合力使人产生向左加速运动的加速度速运动的加速度, ,合力是动力合力是动力, ,对人做正功对人做正功, ,表示车表示车厢对人做正功厢对人做正功, ,由牛顿第三定律知由牛顿第三定律知, ,人对车厢的作人对车厢的作用力向右用力向右, ,是阻力是阻力, ,所以人对车厢做负功所以人对车厢做负功, ,故故C C、D D正正确确. .如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F F开开始提升原来静止的质量为始提升原来静止的质量为m=10kgm=10kg的物体，以大小为的物体，以大小为a=2m/sa=2m/s的加速度上升，求前的加速度上升，求前3s3s内力内力F F做
9、的功做的功. .（g g取取10m/s10m/s）物体受到两个力的作用：拉力物体受到两个力的作用：拉力F F和重力和重力mgmg，由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得F F-mg=ma-mg=ma，所以所以F F=m=m（g+ag+a）=10=10（10+210+2）N=120N.N=120N.则则F=1/2FF=1/2F=60N.=60N.物体由静止开始运动，物体由静止开始运动，3s3s内的位移为内的位移为X=1/2atX=1/2at=9m.=9m.方法一：力方法一：力F F的作用点为绳的端点，的作用点为绳的端点，而在物体发生的而在物体发生的9m9m位移的过程中，位移的过程中，绳的端点的位移为绳
10、的端点的位移为2x=18m2x=18m，所以力所以力F F做的功为做的功为W=F2x=1080JW=F2x=1080J。方法二：由于滑轮和绳的质量及摩擦不计，方法二：由于滑轮和绳的质量及摩擦不计，所以拉力所以拉力F F做的功和拉力做的功和拉力F F对物体做的功相等，即对物体做的功相等，即W WF F=W=WF F=F=Fs=1080Js=1080J质量为质量为M M的长木板放在光滑的水平面上，如图所示，的长木板放在光滑的水平面上，如图所示，一个质量为一个质量为m m的滑块以某一速度沿木板表面从的滑块以某一速度沿木板表面从A A点滑点滑至至B B点，在木板上前进了点，在木板上前进了L L，而木板
11、前进了，而木板前进了l.l.若滑块若滑块与木板间的动摩擦因数为与木板间的动摩擦因数为，问：，问：（1 1）摩擦力对滑块所做的功为多大；）摩擦力对滑块所做的功为多大；（2 2）摩擦力对木板所做的功为多大）摩擦力对木板所做的功为多大. .（1 1）滑块受力合力为摩擦力，）滑块受力合力为摩擦力， 摩擦力对滑块做的功为：摩擦力对滑块做的功为： W Wm m=-=-mgmg（l+Ll+L）. .（2 2）木板所受合力是摩擦力，）木板所受合力是摩擦力， 摩擦力对木板做的功为：摩擦力对木板做的功为： W WM M= =mgsmgs 变力做功的计算：变力做功的计算：1.1.将变力做功转化为恒力做过；将变力做功
12、转化为恒力做过； 分段计算功，然后用求和的方法求分段计算功，然后用求和的方法求变力做的功；变力做的功； 用转换研究对象的方法用转换研究对象的方法2.2.方向不变，大小随位移线性变化的方向不变，大小随位移线性变化的力，可用平均力求所做的功；力，可用平均力求所做的功；3.3.用图象法求解变力做功用图象法求解变力做功. .如图所示，某人用大小不变的力如图所示，某人用大小不变的力F F拉着放在光拉着放在光滑水平面的物体，开始时与物体相连的绳与滑水平面的物体，开始时与物体相连的绳与水平面的夹角是水平面的夹角是，当拉力作用一段时间后，当拉力作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为绳与水平面间的夹角为 . .已
13、知图中的高度已知图中的高度h h，求绳子的拉力求绳子的拉力F FT T对物体所做的功对物体所做的功. .绳的质量、绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计. .设绳的拉力设绳的拉力F FT T对物体做的功为对物体做的功为W WFTFT人的拉力人的拉力F F对绳做的对绳做的功为功为W WF F，由图可知，在绳与水平面的夹角由，由图可知，在绳与水平面的夹角由变到变到的过程中，拉力的过程中，拉力F F的作用点的位移大小为的作用点的位移大小为l=ll=l1 1-l-l2 2 由由W=FlW=Fl可知，可知，W WFTFT=W=WF F=F=Fl=l=FhFh（1/sin-
14、1/sin1/sin-1/sin ）故绳子的拉力故绳子的拉力FTFT做的功为做的功为FhFh（1/sin-1/sin1/sin-1/sin ）放在水平地面上的木块与一轻弹簧相连放在水平地面上的木块与一轻弹簧相连. .现用手水平拉弹簧，拉力现用手水平拉弹簧，拉力F F与力的作用点与力的作用点的位移的位移l l的函数关系如图所示，木块开始的函数关系如图所示，木块开始运动后，继续拉弹簧，木块缓慢移动了运动后，继续拉弹簧，木块缓慢移动了0.8m0.8m的位移，则上述过程中拉力所做的的位移，则上述过程中拉力所做的功为（功为（ ）A.16JB.20JC.24JD.无法确定无法确定如图所示，物体如图所示，物
15、体A、B质量相同，与地面的动质量相同，与地面的动摩擦因数也相同，在力摩擦因数也相同，在力F作用下一起沿水平地作用下一起沿水平地面向右运动的位移为面向右运动的位移为l，下列说法正确的是，下列说法正确的是（ ）A.摩擦力对摩擦力对A、B做的功一样多做的功一样多B.A克服摩擦力做的功比克服摩擦力做的功比B多多C.F对对A做的功与做的功与A对对B做的功相同做的功相同D.A所受的合外力对所受的合外力对A做的功与做的功与B所受的合外力所受的合外力对对B做的功相同做的功相同自动扶梯以恒定的速度自动扶梯以恒定的速度v v运转，运送人员上楼运转，运送人员上楼. .一个人一个人第一次站在扶梯上后相对扶梯静止不动，
16、扶梯载他上第一次站在扶梯上后相对扶梯静止不动，扶梯载他上楼过程中对他做功为楼过程中对他做功为W W1 1，做功功率为，做功功率为P P1 1. .第二次这个人第二次这个人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度v v同时匀速向上走，同时匀速向上走，这次扶梯对人做功为这次扶梯对人做功为W W2 2，做功功率为，做功功率为P P2 2. .以下说法中正以下说法中正确的是（确的是（ ）A.WA.W1 1W W2 2，P P1 1P P2 2 B.W B.W1 1W W2 2，P P1 1P P2 2C.WC.W1 1W W2 2，P P1 1P P2 2 D.W D.W1 1
17、W W2 2，P P1 1P P2 2B解析：在扶梯上，人相对于扶梯静止不动和人相对解析：在扶梯上，人相对于扶梯静止不动和人相对扶梯匀速向上运动，相对地面上的人都是做匀速直扶梯匀速向上运动，相对地面上的人都是做匀速直线运动，两次人均处于平衡状态，两次人的受力情线运动，两次人均处于平衡状态，两次人的受力情况相同，即扶梯对人向上的支持力等于重力，两次况相同，即扶梯对人向上的支持力等于重力，两次扶梯运动的速率扶梯运动的速率v v不变，据不变，据P=P=FvcosFvcos知，两次扶梯知，两次扶梯做功的功率不变，即做功的功率不变，即P P1 1P P2 2；但两次人通过相同位；但两次人通过相同位移所用
18、时间不同，有移所用时间不同，有t t1 1t t2 2，据，据W=PtW=Pt知，两次扶梯知，两次扶梯所做的功不相同，有所做的功不相同，有W W1 1W W2 2，故选，故选B.B.质量为质量为m m的汽车以恒定功率的汽车以恒定功率P P在平直的水平公路在平直的水平公路上行驶，汽车匀速行驶时的速率为上行驶，汽车匀速行驶时的速率为v v1 1，当汽车，当汽车速率以速率以v v2 2（v v2 2v v1 1）行驶时，汽车的加速度为）行驶时，汽车的加速度为（ ）A.P/mvA.P/mv1 1B.P/mvB.P/mv2 2C.PC.P（v v1 1-v-v2 2）/mv/mv1 1v v2 2D.2
19、P/mD.2P/m（v v1 1+v+v2 2）C汽车以汽车以v1v1匀速行驶时，地面匀速行驶时，地面阻力阻力Ff=P/v1Ff=P/v1；当汽车的速率；当汽车的速率为为v2v2时，牵引力时，牵引力F2=P/v2F2=P/v2，此，此时加速度时加速度a=F2-Ff/m=Pa=F2-Ff/m=P（v1-v1-v2v2）/mv1v2/mv1v2起重机的钢丝绳在起重机的钢丝绳在10s10s内将内将4t4t重的货物向上吊重的货物向上吊起起15m15m高高. .（1 1）如果货物是匀速上升，求起重机对货物）如果货物是匀速上升，求起重机对货物做功的功率多大；做功的功率多大；（2 2）如果货物是从静止开始匀
20、加速上升，求）如果货物是从静止开始匀加速上升，求起重机对货物做功的平均功率是多少以及该起重机对货物做功的平均功率是多少以及该起重机的额定功率最小是多少起重机的额定功率最小是多少. .（g g取取10m/s10m/s）解析（解析（1）匀速上升时，起重机对货物向上的拉力）匀速上升时，起重机对货物向上的拉力F1=mg=4104N.拉力做的功拉力做的功W1=F1l=6105J，拉力的功率拉力的功率P1=W1/t=6104W.（2）匀加速上升时，加速度）匀加速上升时，加速度a=2l/t=0.3m/s起重机对货物的拉力起重机对货物的拉力F2=m（g+a）=4.12104N拉力做的功拉力做的功W2=F2l=
21、6.18105J，拉力的平均功率拉力的平均功率P=W/t=6.18104W.最小额定功率即实际功率的最大值，也就是最小额定功率即实际功率的最大值，也就是10s末的末的实际功率，实际功率，10s末的速度末的速度vt=at=3m/s，拉力的最大功率拉力的最大功率Pmax=F2vt=1.236105W,所以该起重机的额定功率最小是所以该起重机的额定功率最小是1.236105W.如图所示，一长为如图所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为另一端固定一质量为m的小球的小球.一水平向右的拉力作用一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度于杆的中点，使杆以角
22、速度 匀速转动，当杆与水平匀速转动，当杆与水平方向成方向成60时，拉力的功率为（时，拉力的功率为（ ）A.mgLA.mgL B.B.3/2mgL3/2mgL C.1/2mgLC.1/2mgL D.D.3/6mgL3/6mgL C先求拉力先求拉力F F的大小的大小. .根据力矩平衡，根据力矩平衡，FL/2sin60FL/2sin60=mgLcos60=mgLcos60，得得F=2F=23mg/33mg/3；再求速度再求速度v=v= L/2L/2；再求力与速度的夹角再求力与速度的夹角=30=30，所以功率所以功率P=P=FvcosFvcos=1/2mgL=1/2mgL 面积很大的水池，水深为面积很
23、大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体，水面上浮着一正方体小木块，木块变长为小木块，木块变长为a，密度为水的，密度为水的1/2，质量为，质量为m.开始时，木块静止，如图所示开始时，木块静止，如图所示.现用力现用力F将木块缓慢将木块缓慢压到水池底部，不计摩擦压到水池底部，不计摩擦.求：从木块刚好完全浸入求：从木块刚好完全浸入水中到停止到池底的过程中，木块重力势能的改变水中到停止到池底的过程中，木块重力势能的改变量和池水重力势能的改变量。量和池水重力势能的改变量。木块从木块从1 1移动到移动到2 2，相当于使相同体积的，相当于使相同体积的水从水从2 2移动到移动到1 1，重心升高，重心升高H-aH
24、-a，所以池水，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置势能的改变量等于这部分水在位置1 1和和2 2的势能之差的势能之差. .木块的质量为木块的质量为m m，与木块同，与木块同体积的水的质量为体积的水的质量为2m2m，故木块和池水势，故木块和池水势能的改变量分别为能的改变量分别为E E木木=-mg=-mg（H-aH-a），），E E水水=2mg=2mg（H-aH-a）如图所示，竖直光滑半圆轨道如图所示，竖直光滑半圆轨道DOCDOC与水平粗糙轨道与水平粗糙轨道ABCABC相切于相切于C C点，轨道的点，轨道的ABAB部分可绕部分可绕B B点转动，一质量为点转动，一质量为m m的滑块在水平外力的滑
25、块在水平外力F F的作用下从的作用下从A A点由静止做匀加速直点由静止做匀加速直线运动，到线运动，到B B点时撤去外力点时撤去外力F F，滑块恰好能通过最高点，滑块恰好能通过最高点D D。现将。现将ABAB顺时针转过顺时针转过3737（不计（不计滑块在滑块在B B点的点的能量损能量损失失），若将滑块从若将滑块从A A点由静止释放，则滑块恰好能到点由静止释放，则滑块恰好能到达与圆心等高的达与圆心等高的O O点。已知滑块与轨道点。已知滑块与轨道ABCABC间的动摩擦间的动摩擦因数因数=0.5=0.5，重力加速度为，重力加速度为g g，sin 37sin 37=0.6=0.6，BC=R/2BC=R/
26、2。（1）求水平外力）求水平外力F与滑块重力与滑块重力mg的比值；的比值；（2）若斜面）若斜面AB光滑，其他条光滑，其他条件不变，滑块仍从件不变，滑块仍从A点由静止释点由静止释放，求滑块在放，求滑块在D点对轨道的压力点对轨道的压力.解解：（：（1 1）因滑块恰好能通过最高点）因滑块恰好能通过最高点D D，所以在所以在D D点有点有mg=mvmg=mvD D/R/R设直轨道设直轨道ABAB长为长为s s，则滑块从，则滑块从A A到到D D由动能定理由动能定理Fs-Fs-mgmg（s+Rs+R/2/2）-mg2R=1/2mv-mg2R=1/2mvD D-0-0滑块从滑块从A A点由静止释放，从点由
27、静止释放，从A A到到O O由动能定理由动能定理mgssin-mgmgssin-mg（coss+Rcoss+R/2/2）- -mgRmgR=0-0=0-0联联立并代入数据得立并代入数据得s=25R/4s=25R/4，F/mg=47/50F/mg=47/50（2 2）因斜面）因斜面ABAB光滑，设滑块到达光滑，设滑块到达D D点时的速度为点时的速度为v v，则从则从A A到到D D由动能定理得由动能定理得mgssin-mgRmgssin-mgR/2-mg2R=1/2mv/2-mg2R=1/2mv-0-0带入带入数值得数值得v v=3gR=3gR在在D D点，由牛顿第二定律知点，由牛顿第二定律知F
28、 FD D+mg+mg=mv=mv/R/R即即F FD D=2mg=2mg由牛顿第三定律知滑块在由牛顿第三定律知滑块在D D点对轨道的压力大小为点对轨道的压力大小为2mg.2mg.（2016全国全国卷）卷）如图，一轻弹簧原长为如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在，其一端固定在倾角为倾角为37的固定直轨道的固定直轨道AC的底端的底端A处，另一端位于直轨道处，另一端位于直轨道上上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为5/6R的光滑的光滑圆弧轨道相切于圆弧轨道相切于C点，点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直面均在同一竖直面内。质量为内。质量为m的小物块
29、的小物块P自自C点由静止开始下滑，最低到达点由静止开始下滑，最低到达E点点（未画出），随后（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高点到达沿轨道被弹回，最高点到达F点，点，AF=4R，已知已知P与直轨道间的动摩擦因数与直轨道间的动摩擦因数=1/4，重力加速度大小为，重力加速度大小为g。（取（取sin37=3/5，cos37=4/5）（1）求）求P第一次运动到第一次运动到B点时速度的大小。点时速度的大小。（2）求）求P运动到点时弹簧的弹性势能。运动到点时弹簧的弹性势能。（3）改变物块）改变物块P的质量，将的质量，将P推至推至E点，从静止开始释放。已点，从静止开始释放。已知知P自圆弧轨道的最高点自圆弧轨
30、道的最高点D处水平飞出后，恰好通过点。处水平飞出后，恰好通过点。点在点左下方，与点水平相距点在点左下方，与点水平相距7/2R，竖直相距，竖直相距R。求求运动到点时速度的大小和改变后的质量运动到点时速度的大小和改变后的质量。解：解：（1 1）根据题意知，）根据题意知，B B、C C之间的距离为之间的距离为l=7R-2Rl=7R-2R设设P P到达到达B B点时的速度为点时的速度为vBvB，由动能定理有，由动能定理有mglsin-mglcosmglsin-mglcos=1/2mv=1/2mvB B-0-0式中式中=37=37联立式并由题给条件得联立式并由题给条件得v vB B=2=2（gRgR）（
31、2 2）设）设BE=xBE=x。P P到达到达E E点时的速度为零，点时的速度为零，设此时弹簧的弹性势能为设此时弹簧的弹性势能为E EP P。P P由由B B点运动到点运动到E E点的过程中，由动能定理有点的过程中，由动能定理有mgxsinmgxsin- -mgxcosmgxcos-E-EP P=0-1/2mv=0-1/2mvB BE E、F F之间的距离为之间的距离为l l1 1=4R-2R+x=4R-2R+xP P到达到达E E点后反弹，点后反弹，从从E E点运动到点运动到F F点的过程中，由动能定理有点的过程中，由动能定理有E EP P-mgl-mgl1 1sin-mglsin-mgl1
32、 1cos=0-0cos=0-0联立式并由题给的条件得联立式并由题给的条件得x=Rx=RE EP P=12/5mgR=12/5mgR（3 3）设改变后）设改变后P P的质量为的质量为m m1 1。D D点与点与G G点的水平距离点的水平距离x1x1和竖直距离和竖直距离y y1 1分别为分别为x x1 1=7/2 R-5/6 =7/2 R-5/6 RsinRsiny y1 1=R+5/6 R+5/6 =R+5/6 R+5/6 RcosRcos式中，已应用了过式中，已应用了过C C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为的事的事实实设设P P在在D D点的速度为点的速度为v
33、DvD，由，由D D点运动到点运动到G G点的时间为点的时间为t t。由平抛运动公式有由平抛运动公式有y1=1/2gty1=1/2gtx x1 1= =v vD Dt t联立联立式得式得vDvD得得3/5 3/5 （5gR5gR）设设P P在在C C点速度的大小为点速度的大小为v vC C。在。在P P由由C C点运动到点运动到D D点的过程中机械能守点的过程中机械能守恒，有恒，有1/2m1/2m1 1v vC C=1/2m=1/2m1 1v vD D+m+m1 1g g（5/6 R+5/6 5/6 R+5/6 RcosRcos）P P由由E E点运动到点运动到C C点的过程中，由动能定理有点
34、的过程中，由动能定理有E EP P-m-m1 1g g（x+5Rx+5R）sin-msin-m1 1g g（x+5Rx+5R）coscos=1/2m=1/2m1 1v vC C-0-0联立联立式得式得m m1 1=m/3=m/3（2016年全国年全国卷）轻质弹簧原长为卷）轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物点，另一端与物块块P接触但不连接。接触
35、但不连接。AB是长度为是长度为5l的水平轨道，的水平轨道，B端端与半径为与半径为l的光滑半圆轨道的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块竖直，如图所示。物块P与与AB间的动摩擦因数间的动摩擦因数=0.5。用外力推动物块用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度，将弹簧压缩至长度l，然后放开，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。（1）若）若P的质量为的质量为m，求，求P到达到达B点时点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到回到AB上的位置与上的位置与B点间的距离；点间的距离；（2）若）若P能滑
36、上圆轨道，且仍能沿圆能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求轨道滑下，求P的质量的取值范围。的质量的取值范围。解：（解：（1 1）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l l时，质量为时，质量为5m5m的物体的动能为零，其重力势能转化的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧的长度为由机械能守恒定律，弹簧的长度为l l时的弹性势能时的弹性势能E EP P=5mgl=5mgl设设P P的质量为的质量为M M，到达，到达B B点时的速度为点时的速度为v vB B，由能量守恒定律得由能量守恒定律得E EP P=1/2Mv
37、=1/2MvB B+Mg4l+Mg4l联立式，取联立式，取M=mM=m并代入题给数据得并代入题给数据得v vB B= =（6gl6gl）若若P P能沿圆轨道运动到能沿圆轨道运动到D D点，其到达点，其到达D D点时的向心力不点时的向心力不能小于重力，能小于重力，即即P P此时的速度大小此时的速度大小v v应满足应满足mvmv/l-mg/l-mg0 0设设P P滑道滑道D D点时的速度为点时的速度为v vD D，由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得1/2mv1/2mvB B=1/2mv=1/2mvD D+mg2l+mg2l联立式得联立式得v vD D= =（2gl2gl）v vD D满足式要求，
38、故满足式要求，故P P能运动到能运动到D D点，并从点，并从D D点以速度点以速度v vD D水平射出。水平射出。设设P P落回到轨道落回到轨道ABAB所需的时间为所需的时间为t t，由运动学公式得，由运动学公式得2l=1/2gt2l=1/2gtP P落回落回ABAB上的位置与上的位置与B B点之间的距离为点之间的距离为s=s=v vD Dt t联立式得联立式得s=2s=22l2l（2 2）为使）为使P P能滑上圆轨道，它到达能滑上圆轨道，它到达B B点时的速度不点时的速度不能小于零。能小于零。由式可知由式可知5mgl5mglMg4lMg4l要使要使P P仍能沿圆轨道滑回，仍能沿圆轨道滑回，P
39、 P在圆轨道的上升高度不在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点能超过半圆轨道的中点C C。由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有1/2Mv1/2MvB BMglMgl联立联立式得式得5m/35m/3M M5m/25m/2（2016年全国年全国卷）如图，在竖直平卷）如图，在竖直平面内由面内由1/4圆弧圆弧AB和和1/2圆弧圆弧BC组成组成的光滑固定轨道，两者在最低点的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑平滑连接。连接。AB弧的半径为弧的半径为R，BC弧的半径弧的半径为为R/2。一小球在。一小球在A点正上方与点正上方与A相距相距R/4处由静止开始自由下落，经处由静止开始自由下落，经A点沿点沿圆弧轨道运
40、动。圆弧轨道运动。 （1）求小球在）求小球在B、A两点的动能之比；两点的动能之比；（2）通过计算判断小球能否沿轨道运）通过计算判断小球能否沿轨道运动到动到C点。点。解：解：（1 1）设小球的质量为）设小球的质量为m m，小球在，小球在A A点的动能为点的动能为E EkAkA= =mgRmgR/4/4设小球在设小球在B B点的动能为点的动能为E EkBkB，同理有，同理有E EkBkB=5mgR/4=5mgR/4由式得由式得E EkAkA/ /E EkBkB=5=5（2 2）若小球能沿轨道运动到）若小球能沿轨道运动到C C点，小球在点，小球在C C点所受轨点所受轨道的正压力道的正压力F FN N
41、应满足应满足F FN N0 0设小球在设小球在C C点的速度大小为点的速度大小为vCvC，由牛顿第二定律和向，由牛顿第二定律和向心加速度公式有心加速度公式有F FN N+mg+mg=mv=mvC C/R/2/R/2由式得，由式得，v vC C应满足应满足mgmgm m2 2v vC C/R/R由机械能守恒有由机械能守恒有mgRmgR/4=1/2mv/4=1/2mvC C由式可知，小球恰好可以沿轨道运动到由式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C C点点（20162016年天津卷）年天津卷）我国将于我国将于20222022年举办冬奥会，跳年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，台滑
42、雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量质量m=60kgm=60kg的运动员从长直助滑道的运动员从长直助滑道ABAB的的A A处由静止开处由静止开始以加速度始以加速度a=3.6 m/sa=3.6 m/s匀加速滑下，到达助滑道末匀加速滑下，到达助滑道末端端B B时速度时速度vB=24m/svB=24m/s，A A与与B B的竖直高度差的竖直高度差H=48mH=48m。为。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C C处附近是一段以处附近是一段以O O为圆心的圆弧。助滑道末端为圆心的圆
43、弧。助滑道末端B B与滑道最低点与滑道最低点C C的高度的高度差差h=5mh=5m，运动员，运动员 在在B B、C C间运动时阻力做功间运动时阻力做功W=1530JW=1530J，取，取g=10m/sg=10m/s。 （1 1）求运动员在）求运动员在ABAB段下滑时受到段下滑时受到阻力阻力FfFf的大小；的大小；（2 2）若运动员能够承受的最大压）若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的力为其所受重力的6 6倍，则倍，则C C点所在点所在圆弧的半径圆弧的半径R R至少应为多大。至少应为多大。解：（解：（1）运动员在）运动员在AB段做初速度为零的匀加速运动，段做初速度为零的匀加速运动，设设AB的
44、长度为的长度为x，则有，则有vB=2ax由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有mgH/x-Ff=ma联立式，代入数据解得联立式，代入数据解得Ff=144N（2）设运动员到达）设运动员到达C点时的速度为点时的速度为vC，在由，在由B处运动处运动到到C点的过程中，点的过程中，由动能定理有由动能定理有mgh+W=1/2mvC-1/2mvB设运动员在设运动员在C点所受的支持力为点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有FN-mg=mvC/R由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，倍，联立式，代入数据解得联立式，代入数据解得R=12.5m 科学是一种方法，它教导人们：科学是一种方法，它教导人们：一些事物是如何被了解的，不了解一些事物是如何被了解的，不了解的还有些什么，对于了解的，现在的还有些什么，对于了解的，现在了解到了什么程度了解到了什么程度费恩曼费恩曼
