经济数学基础--微积分第七章.

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1、第七章 多元函数微积分Indefinite integral经济数学应用基础微积分目录第 2 页 7.2 偏导数 7.1 多元函数的基本概念 7.3 全微分第七章第七章 多元函数微积分多元函数微积分 7.4 多元复合函数与隐函数的求导 7.5 多元函数的极值和最值 7.6 二重积分的概念与性质 7.7 二重积分的计算与应用第 3 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念 7.1.1 多元函数的概念 7.1 7.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 7.1.2 二元函数的极限 7.1.3 二元函数的连续性第 4 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念多元函数的概念1, , ,( , ),( ,

2、 ).,.,.设在某个变化过程中有三个变量如果对于变量在其允许的实数范围内取一组值按照某种对应关系 变量 总有唯一确定的值与之对应则称 是的二元函数 记作其中称为自变量称为因变量自变量所允许的取值范围称为函数的定义域x y zx yx yzzx yzf x yx yzx y1.7.1.1二元函数的定义定义第 5 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念 000000002222( , )( , ),( , )( , ),.,.,( , )3,43,434255.,( , , ).,因为数组表示平面上的一点这样二元函数可看成是平面上点与数 之间的对应 因此也可记作二元函数在点处所取得的函数值记为、

3、或例如 函数在点的值是类似地 可以定义三元函数及三元以上的函数 一般地 可以定义个自变量的函x yP x yzf x yP x yzzfPPxyfxyfPz xyf x yxyfuf x y zn123(,),.3.数个自变量的函数称为 元函数 二元及二元以上的函数统称为多元函数 上述问题 得到的函数即为三元函数nuf xxxxnn第 6 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念,.,;,.,.,;,同一元函数一样 定义域和对应关系是二元函数的两个要素 对于用解析式表示的二元函数 其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围 如果函数是由实际问题得到的 其定义域应根据它的实际意义来确定一般来说

4、一元函数的定义域是数轴上的点集 二元函数的定义域是面上的平面区域 定义域常用字母表示 如果区域延伸到无限远处 就称这样的区域是无界的 否则 它总可以被包围在一个以原点为中xOyDO2.二元函数的定义域,.,.心而半径适当大的圆内 这样的区域称为有界的围成平面区域的曲线称为该区域的边界 包括边界的区域称为闭区域 不包括边界的区域称为开区域第 7 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念 2222222222222:1;12ln1;43arcsin.1, ,0,( , ),;求下列函数的定义域要使函数的解析式有意义必须满足所以函数的定义域是如图所示zRxyzxyxyzxyx yRxyDx y xyR

5、7.1.1例解第 8 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念 222222222, ,1014,40( , ) 14,;3,( , )11,1; 2; 3.要使函数的解析式有意义必须满足不等式组所以函数的定义域是如上图所示由反三角函数的定义知 函数的定义域是如下图所示.中的是有界闭区域中的是有界开区域中的是无界闭区域x yxyxyxyDx yxyDx yxyDDD注意第 9 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念( , ) ,( , ),( , , ).,( , ).,().设的定义域为平面上的一个区域对于 中的每一点把所对应的函数值 作为竖坐标 就有空间中的一点与之对应当点 在 内变动时 对

6、应点就构成了空间的一个点集 这个点集就是函数的图形 一般地 它是一个曲面 该曲面在平面上的投影即为函数的定义域 如图所示zf x yxOyDDP x yzM x y zPDMzf x yxOy3.二元函数的几何意义第 10 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念0000000000000000( , ),( , ),(),( , ),.( , ),( , ),( , )( , ),.lim,lim( , )设函数在点的某个邻域内有定义 点可以除外点是该邻域内异于点的任意一点若当点以任意方式无限地趋近于点时 函数总是趋近于一个确定的常数 则称 为函数当趋近于点时的极限记作或x yxyPPzf x

7、 yPxyPP x yPxyP x yPxyf x yAAzf x yP x yPxyf x yAf x y7.1.2定义 0001( , );2 lim( , ),( , ),0.定义中该邻域内异于 的点 必须是使得函数有定义的点是指 以任意方式趋近于点 时 函数都趋近于同一个常数即常数 与点 趋近于点的方式无关PPPPzf x yf x yAPPf x yAPPA说明二元函数的极限2第 11 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念 22( , )2,1,0,0,0,02,0,0,0,0,0,0:sin41lim;2lim;3lim.42171.213sin()sin()2limlimlim

8、100.求下列函数的极限极限极限x yx yx yx yx yx yxyxyxxyxyyxyxyxyxxxyxy 7.1.2例解第 12 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念 22,0,0,0,0,0,0,0,023( , )0,00,.,:() limlimlimlim 0000.,0由于分母当时趋近于因此 我们不能用极限的商的运算法则但是 如果分子分母同乘以就可以得到极限的等价形式我们之所以能够消去因式是因为路径不在函数x yx yx yx yxyx yxyxxyxyx xyxyxxyxyxyxyxyxxyxxyxyxyzx.的定义域中y第 13 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念2

9、22222222,0( , ),( , )0,0.0,00 ,( , )( ,).( , )10,0 ,( , ).,.( , )110,0,( , ),讨论函数当时是否存在极限取直线则让动点沿直线无限趋近于由于显然的取值不同的值也不同这意味着当沿不同方向无限趋近于时与不同的数无限接近xyxyxyf x yx yxykykx kf x yf x kxx yykxkkkf x ykx ykkf x y7.1.3例解( , )0,0.因此在处不存在极限f x y第 14 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念00000000000,0000( , ),(),lim,lim( , ),.( ,( ,

10、 ),( , ),( , ).),( , ).设函数在点的某个邻域内有定义 包括点本身如果或则称函数在处连续 称 为函如果函数在区域 内每一点处都连续 则称函数在区域 内连续 又称函数是 内连续函数二元连续数的点函连续x yxyPPzf x yPxyPfx yfxyf x yfxyf xzf x yDzf x yDfyPxyPf xxDyy7.1.3定义.,().数的图形是一个没有任何空隙和裂缝的曲面根据极限四则运算法则及有关复合函数的极限定理 可以证明 二元连续函数的和、差、积、商 分母为零的点除外 及二元连续函数的复合函数都是连续的使二元函数不连续的点称为函数的间断点二元函数的连续性3第

11、15 页第七章 . 第一节多元函数的基本概念12121200.( , ),.,.在有界闭区域上连续的二元函数必有最大值和最小值在有界闭区域 上连续的二元函数若为 中任意两点 且则对任何满足不等式的实数必存以上关于二元函数极限与连续的讨论完全可以推广在点使得到三元以及三元以上的函数Df x yP PDf Pf Pf Pf PPDf P()()12最大值和最小值定理介值定理性质性质二元连续函数在有界闭区域上的性质4第 16 页偏导数第七章 第二节 7.2.1 偏导数概念与计算 7.2 7.2 偏函数偏函数 7.2.2 高阶偏导数第 17 页偏导数第七章 第二节偏导数概念与计算1 2,.:1:,d,