北京科技大学线性代数课件ch33

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1、线性代数3-313.1 3.1 向量空间的概念向量空间的概念3.2 3.2 向量的线性关系向量的线性关系3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩3.5 3.5 矩阵的秩矩阵的秩线性代数3-32(1)向量与向量组的关系：向量与向量组的关系：复习复习12:,mA ，nR 1122mmkkk ()span A (2)两个向量组的关系：两个向量组的关系：12:,;mA 12:,sB 等价等价 1212span,=span,ms (3)向量组的线性相关：向量组的线性相关：12:, ,mA 若存在一组若存在一组不全为零不全为零的数的数12,mk kk使得使得1122. 0mmkkk 线性无关线性无关:三种向量

2、的线性关系：三种向量的线性关系：11220mmkkk 120.mkkk 线性代数3-33定理定理3.3向量向量 b 可由可由A: 12,m 线性表示线性表示1122mmxxxb 有解有解.方程组方程组复习复习AB 行行初初等等变变换换定理定理3.5A与与B的的行行向量组等价向量组等价定理定理3.712,s 线性相关线性相关1 1220ssxxx 有有非零解非零解. 线性无关线性无关只有只有零解零解. 定理定理3.9 向量组向量组线性无关线性无关, 添加分量添加分量所得向量组所得向量组向量组向量组线性相关线性相关, 减少分量减少分量所得向量组所得向量组定理定理3.8 部分组部分组 整个组整个组1

3、2:,mA 定理定理3.10线性线性无关无关, 线性线性相关相关, 则向量则向量 必可由必可由 A线性表示线性表示, 且且表示法惟一表示法惟一. ,:21mB相关相关无关无关相关相关无关无关线性无关线性无关线性相关线性相关线性代数3-34若向量组若向量组(1) 线性无关线性无关, 则则两个两个等价线性无关等价线性无关向量组向量组定理定理3.11复习复习推论推论1 1.rs 推论推论2 2推论推论3 3任意任意 n+1 个个 n 维向量均维向量均12,),(1r 12,),(2s (1)可由可由(2)线性表示线性表示,若若r s , 则向量组则向量组(1)线性相关线性相关.所含向量的所含向量的个

4、数相同个数相同. 线性相关线性相关. 线性代数3-35向量组向量组 112111,naaa 122222,naaa 12,sssnsaaa 111212122212ssnnnsaaaaaaAaaa 0,A 当当0,A 当当A 行行变变换换(1) 当当 n s, 非零行数非零行数r(A)= s, 线性无关线性无关.非零行数非零行数r(A) s , 则则(1)线性相关线性相关.(1)可由可由(2)线性表示线性表示,线性代数3-319由极大无关组的定义可得以下由极大无关组的定义可得以下三个结论三个结论:(2) 012:,rA (1) 向量组向量组 A 与它的极大无关组与它的极大无关组 A0 等价等价

5、.是向量组是向量组 A 的极大无关组的极大无关组,则则 A 中任意中任意 r+1 个向量线性相关个向量线性相关. (3) A 组的极大无关组不惟一组的极大无关组不惟一, 但但 A 组的所有极大组的所有极大无关组是无关组是等价等价的的.若若 A1 是是 A 的一个极大无关组的一个极大无关组, 则则 A 与与 A1 等价等价;A2 也是也是 A 的一个极大无关组的一个极大无关组, 则则 A 与与 A2 等价等价;故故 A1 与与 A2 等价等价.证明证明:线性代数3-320若向量组若向量组(1) 线性无关线性无关, 则则两个两个等价线性无关等价线性无关向量组所含向量的向量组所含向量的个数相同个数相

6、同. 定理定理3.11小结小结推论推论1 1.rs 推论推论2 2推论推论3 3任意任意 n+1 个个 n 维向量均维向量均线性相关线性相关. 12,),(1r 12,),(2s (1)可由可由(2)线性表示线性表示,若若r s , 则向量组则向量组(1)线性相关线性相关.(2) 012:,rA (1) 向量组向量组 A 与它的极大无关组与它的极大无关组 A0 等价等价.是向量组是向量组 A 的极大无关组的极大无关组,则则 A 中任意中任意 r+1 个向量线性相关个向量线性相关. (3) A 组的极大无关组不惟一组的极大无关组不惟一, 但所有极大无关组但所有极大无关组等价等价极大无关组的极大无

7、关组的若干结论若干结论:线性代数3-321第三章第三章 向量空间向量空间n向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组n向量组的秩向量组的秩n向量空间的基向量空间的基 维数维数 坐标坐标n基变换与坐标变换基变换与坐标变换n欧氏空间欧氏空间3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩线性代数3-322向量组的极大线性无关组不惟一向量组的极大线性无关组不惟一, 但有如下定理但有如下定理: 定理定理3.12向量组的极大线性无关组所含向量的向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同个数相同.证明证明根据定理根据定理3.11推论推论2可知可知: s = t.即两个极大无关组所含向量的个数相同即两个极大无关组所含向

8、量的个数相同.设向量组设向量组12I :,s 12II :,t 都是向量组都是向量组 A 的极大无关组的极大无关组,由于一个向量组的任何由于一个向量组的任何两个极大无关组等价两个极大无关组等价, 故向量组故向量组I与与II等价等价.2.2.向量组的秩向量组的秩推论推论2 2 两个两个等价线性无关等价线性无关向量向量组所含向量的组所含向量的个数相同个数相同. 线性代数3-323小结小结(2) 012:,rA (1) 向量组向量组 A 与它的极大无关组与它的极大无关组 A0 等价等价.是向量组是向量组 A 的极大无关组的极大无关组,则则 A 中任意中任意 r+1 个向量线性相关个向量线性相关. (

9、3) A 组的极大无关组不惟一组的极大无关组不惟一, 但但 所有极大无关组所有极大无关组等价等价极大无关组的极大无关组的若干结论若干结论:(4) 向量组的极大无关组所含向量的向量组的极大无关组所含向量的个数相同个数相同.线性代数3-324称为称为向量组的秩向量组的秩向量组极大无关组所含向量的个数向量组极大无关组所含向量的个数定义定义3.17如如: : 全体全体 n 维向量构成的向量组维向量构成的向量组 的秩为的秩为 n.nR 121,0,0,0,1,0,0,0,1TTTn ，Rn的的n维单位坐标向量组：维单位坐标向量组： 是是Rn的极大无关向量组，所以的极大无关向量组，所以Rn的秩是的秩是n全

10、体全体 3 维向量构成的向量组维向量构成的向量组 的秩为的秩为 3.3R线性代数3-325(1)向量与向量组的关系：向量与向量组的关系：小结小结12:,mA ，nR 1122mmkkk ()span A (2)两个向量组的关系：两个向量组的关系：12:,;mA 12:,sB 等价等价 1212span,=span,ms (3)向量组的线性相关：向量组的线性相关：12:, ,mA 若存在一组若存在一组不全为零不全为零的数的数12,mk kk使得使得1122. 0mmkkk 线性无关线性无关:三种向量的线性关系：三种向量的线性关系：11220mmkkk 120.mkkk 向量组的极大无关组：向量组

11、的极大无关组：iA 线性无关线性无关可由可由A0线性表示线性表示0A1212:,rrrmA 0span=spanAA向量组的秩：向量组的秩： 向量组极大无关组所含向量的个数向量组极大无关组所含向量的个数线性代数3-326称为称为向量组的秩向量组的秩向量组的极大无关组所含的向量的个数向量组的极大无关组所含的向量的个数定义定义3.17向量组线性无关向量组线性无关 其其秩秩等于向量组所含等于向量组所含定理定理3.13向量向量的的个数个数.证明证明设向量组设向量组12,s 线性无关线性无关, 则该向量组的极大无关组就是其本身则该向量组的极大无关组就是其本身, 故向量组的秩为故向量组的秩为s, 即为向量