第3讲频域处理
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1、12引言l图像变换的目的在于：l使图像处理问题简化；l有利于图像特征提取；l有助于从概念上增强对图像信息的理解。l图像变换通常是一种二维正交变换，一般要求：l正交变换必须是可逆的；l正变换和反变换的算法不能太复杂；l正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。l因此，正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。3主要内容3.1 频域与频域变换 3.2 傅立叶变换 3.3 频域变换的一般表达式 3.4 离散余弦变换(DCT) 3.5 频域中图像处理的实现4l频域变换的理论基础: 任意波形都可以用单
2、纯的正弦波的加权和来表示。Jean Baptiste Joseph Fourier11( )sinsin2sin435f xxxx( )yf xsinyx1sin23yx1sin45yx 法国数学家、物理学家。主要 贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。 5时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下： ( )( ),( )f tA ff正变换逆变换 为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法，因此上式可用复数表示为：
3、( )( )f tF f正变换逆变换完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。 式中： F(f )用复数表示幅值、 相位与频率 f 之间的关系。6l连续函数的傅立叶变换l离散傅立叶变换（DFT）l二维离散傅立叶变换的性质l快速离散傅立叶变换7 连续函数的傅立叶变换l当1个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x) （1） 具有有限个间断点； （2） 具有有限个极值点； （3） 绝对可积。 则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。l一维连续信号傅立叶变换对的定义为：j21j2 ( )( )( )ed ( )( )( )eduxuxf xF uf xxF uf xF uuFF式中： x
4、称为时域变量，u称为频域变量。 8频谱分析示例a signal containing 50 Hz and 120 Hz and corrupt it with some zero-mean random noise:The power spectrum, a measurement of the power at various frequencies, l可见，1 1个一维输入信号的傅立叶变换结果，是频域上的1 1个一维信号，反映了输入信号的频率构成信息。9二维连续信号傅立叶变换l如果二维函数 f(x, y) 满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为：j2()1j2() ( , )( ,
5、)( , )ed d ( , )( , )( , )ed dux vyux vyf x yF u vf x yx yF u vf x yF u vu v FF式中：x, y为时域变量；u, v为频域变量。 103.2.2 离散傅立叶变换（DFT）l设f(x) | f(0), f(1), f(2), , f(N-1)为一维信号f(x)的N个抽样， 其离散傅立叶变换对为：21-j021j10( )( )( )e1( )( )( )euxNNxuxNNxfxF ufxF ufxF uNFF式中：x，u =0， 1， 2， , N1。 11由欧拉公式可知 jecosjsin并利用cos( ) = co
6、s()，可得 1022( )( ) cosjsinNxuxuxF uf xNN(7-10) 可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个 u 对应的傅立叶变换结果是所有输入序列 f(x) 的加权和（每一个 f(x) 都乘以不同频率的正弦和余弦值），u 决定了每个傅立叶变换结果的频率。 12通常傅立叶变换为复数形式， 即 ( )( )j ( )F uR uI u 式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。上式也可表示成指数形式： F(u)=|F(u) |ej(u) 其中： )()(arctan)()()(| )(|22uRuIuuIuRuFf(x) 的频谱或傅立叶幅度谱f(x)
7、 的相位谱)()(| )(|)(222uIuRuFuE能量谱或功率谱13定义定义l考虑到两个变量，就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。一个MN大小的二维函数f(x,y)，其定义为：11j2()0011j2()100 ( , )( , )( , )e1( , )( , )( , )euxvyMNMNxyuxvyMNMNuvf x yF u vf x yF u vf x yF u vMN FF 式中：u, x=0, 1, 2, , M-1；v, y=0, 1, 2, , N-1；x, y为时域变量，u, v为频域变量。14 二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为：),(),(),()
8、,(),(arctan),(),(),(| ),(|2222vuIvuRvuEvuRvuIvuvuIvuRvuF式中，R(u, v)和I(u, v)分别是F(u, v)的实部和虚部。 15示例： (a) 原图像 （b）中心平移后的频谱的图像表示 （c）中心平移后的频谱3D表示163.2.3 二维离散傅立叶变换的性质表7-1 二维DFT的性质17二维离散傅立叶变换的性质（续）18 1.可分离性11j2 ()0011j2j200 ( , )( , )( , )e e( , )euxvyMNMNxyvyuxMNNMxyf x yF u vf x yf x yF19l用两次一维DFT计算二维DFT行变
9、换行变换列变换列变换1111j2 ()j2j20000 ( , )( , )( , )e e( , )euxvyvyuxMNMNMNNMxyxyF f x yF u vf x yf x y202.平移性质l在空域中，图像原点平移到(x0, y0)时，其对应的频谱F(u,v)要乘上一个负的指数项l在频域中，原点平移到(u0, v0)时，其对应的f(x,y)要乘上一个正的指数项0000j2,euxvyMNf xx yyF u v0000j2,e,u xv yMNf x yF uu vv在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变。21平移性质（中心化变换） 在数字图像处理中，我们常常将 F(u,v)
10、 的原点移到MN频域方阵的中心，以使能清楚地分析傅立叶变换谱的情况。只要将 f(x, y) 乘以因子(-1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0,0）移动到图像中心 （M2, N2）处。0022j2j2j,e,e,e,1,22MxNyu xv yMNMNxyxyfx yfx yfx yfx yMNF uv22对称性及中心化变换23平移性质（续）傅立叶频谱平移示意图(a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）中心平移后的傅立叶频谱空域平移傅立叶频谱频示意图243.旋转不变性l由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。
11、l如果引入极坐标l则 f(x,y) 和F(u,v)分别变为 f(r, ) 和 F( , )。在极坐标系中，存在以下变换对：coscossinsinxruyrv( ,)()00f r F, 25旋转不变性（续） 离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像（b） 原始图像的 傅立叶频谱（c） 旋转45 后的图像（d） 图像旋转后 的傅立叶频谱 264.卷积定理l卷积定理研究两个函数的傅立叶变换之间的关系，这构成了空间域和频域之间的基本关系。l对于两个二维连续函数 f(x,y) 和 g(x,y) 的卷积定义为：l其二维卷积定理可由下面关系表示： 式中：),(),(),(),(vuGyxgvuFyxf)
