第3章 随机过程

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1、第第3章随机过程章随机过程本章教学基本要求本章教学基本要求1、理解随机变量和随机过程的概念及数学描述。、理解随机变量和随机过程的概念及数学描述。2、掌握统计平均和自相关函数的计算方法。、掌握统计平均和自相关函数的计算方法。3、熟悉噪声的分类和性质，特别是高斯白噪声的、熟悉噪声的分类和性质，特别是高斯白噪声的 特点。特点。4、学习随机过程通过线性系统的基本理论，了解、学习随机过程通过线性系统的基本理论，了解 用功率谱密度描述和处理随机信号的方法。用功率谱密度描述和处理随机信号的方法。本章主要内容本章主要内容3.1随机变量及其数学描述随机变量及其数学描述3.2随机过程及其数学描述随机过程及其数学描

2、述3.3高斯随机过程高斯随机过程3.4随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统主要外语词汇主要外语词汇随机过程（随机过程（Random Process）随机信号（随机信号（Random Signal）随机变量（随机变量（Random Variable）加性高斯白噪声（加性高斯白噪声（AWGN Additive White Gaussian Noise ）平稳随机过程（平稳随机过程（ stationary random processes）均值（均值（mean） 方差（方差（variance） 相关函数（相关函数（correlation functions）各态历经性（各态历经性（Ergodic

3、） 功率谱密度功率谱密度 （power spectral density）作业作业P62页：页：3-8，3-13，3-143.1 随机变量及其数学描述随机变量及其数学描述(Random Variable) 一、随机事件及概率：一、随机事件及概率： 1、随机现象：、随机现象： 自然界和人类社会中总存在一些不可预自然界和人类社会中总存在一些不可预测的、偶然性的、毫无规律的现象，如投掷测的、偶然性的、毫无规律的现象，如投掷硬币哪面向上、落叶的位置、气体分子热运硬币哪面向上、落叶的位置、气体分子热运动轨迹、噪声等，在每次试验其结果呈现出动轨迹、噪声等，在每次试验其结果呈现出不确定性。它们被归类为随机事

4、件。不确定性。它们被归类为随机事件。基本概念基本概念： 样本样本：随机现象的某次出现（观测、：随机现象的某次出现（观测、 实验）。实验）。 事件事件：样本的结果。：样本的结果。 样本空间样本空间：无穷多（大量）样本的全体。：无穷多（大量）样本的全体。 事件空间事件空间：结果的集合，可能无穷多，也可：结果的集合，可能无穷多，也可 能只有少数几种。能只有少数几种。一般特征一般特征： 随机性表现为样本的偶然性和事件的不可预知性。随机性表现为样本的偶然性和事件的不可预知性。（1）随机现象的规律性表现在大量样本的统计特性上。）随机现象的规律性表现在大量样本的统计特性上。单个看来毫无规律的样本，其集体行为

5、却表现出规律：单个看来毫无规律的样本，其集体行为却表现出规律：设设N次观测中事件次观测中事件A出现了出现了mA次，次，A发生的频率为发生的频率为 。当当N很大时，很大时， 有确定的比值。有确定的比值。 （2）定义：）定义： 为事件为事件A出现的概率。出现的概率。2、概率（、概率（probability）NmANmANmAPAN lim)(3、概率的性质和运算概率的性质和运算 （1）任何随机事件的概率）任何随机事件的概率P(A)，其值介于，其值介于 0P(A)1 之间。之间。（2）条件概率：）条件概率： P(A|B) 为事件为事件B已出现的条件下，事件已出现的条件下，事件A 发生的概率。发生的概

6、率。 性质：性质：若若B与与A无关：无关： P(A|B)P(A) ，则则A必与必与B无关：无关： P(B|A)P(B) 。 一般情况下一般情况下P(A|B) P(B|A)，其中一个，其中一个为前向概率，另一个则称它为后验概率。为前向概率，另一个则称它为后验概率。（3）两事件之积的概率）两事件之积的概率P(AB) 叫联合概率，它代表叫联合概率，它代表 A和和B同时出现的概率，故同时出现的概率，故P(AB)P(BA)。 因为：因为： P(AB)= P(A) P(B|A) P(BA) P(B) P(A|B) 于是：于是： P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)特例：特例：当当A与与B无关

7、时，便有无关时，便有P(AB)= P(A)P(B) 当当P(AB)=0时，称时，称A与与B互斥。互斥。)()()()(BABABA（4）两事件之和的概率）两事件之和的概率 P(A+B) 代表代表A或或B出现的概出现的概率（二者之一或共同），显然：率（二者之一或共同），显然：P(A+B)= P(A)+ P(B) - P(AB) 关系如图所示：关系如图所示： 特例：特例：A与与B互斥，互斥，P(AB)=0，P(A+B)=P(A)+P(B)。 （5）可能的事件全体）可能的事件全体Ai（i=1,n），若为互），若为互斥、完备集合，则有归一化公式：斥、完备集合，则有归一化公式：同样，对条件概率有：同样，

8、对条件概率有： 对联合概率有：对联合概率有：niiAP11)(1)|(1niiBAP1)(11nimjjiBAP)()(1jnijiBPBAP)()(1imjjiAPBAP（6）贝叶斯（）贝叶斯（Bayes）公式）公式 将：将： 代入：代入： 得到：得到： （ i=1，2n）niijiijijiABPAPABAPBA1)|()()|()()|(niijinijijABPAPBAPBP11)|()()()()()()()(jijijiBABABA A0和和A1表示信源发表示信源发“0”发发“1”两事件，两事件， B0和和B1表示信宿收表示信宿收“0”收收“1”两事件。已知：两事件。已知：P(A0

9、)=2/3，P(B1|A0)=1/6，P(B0|A1)=1/4，求：求：(1)收到收到“1”和收到和收到“0”的概率；的概率； (2)误码率；误码率； (3)后验概率；后验概率；解：解：( (1）由归一化条件得到：）由归一化条件得到： P(A1)=1/3，P(B0|A0)=5/6， P(B1|A1)=3/4， 求出求出4个联合概率为：个联合概率为： P(A0 B0)= P(A0) P(B0|A0)=5/9 ，为发，为发0收收0概率概率 P(A1 B0)= P(A1) P(B0|A1)=1/12，为发，为发1收收0概率概率 P(A0 B1)= P(A0) P(B1|A0)=1/9 ，为发，为发0

10、收收1概率概率 P(A1 B1)= P(A1) P(B1|A1)=1/4 ，为发，为发1收收1概率概率 于是，收到于是，收到0的概率为：的概率为： P(B0) = P(A0 B0) + P(A1 B0) = 23/36； 收到收到1的概率为：的概率为： P(B1) = P(A0 B1) + P(A1 B1) = 13/36；（2）误码率为：）误码率为： Pe = P(A1 B0) + P(A0 B1)=7/36;（3）后验概率：后验概率： 在已收到在已收到0的条件下，判断它的各种可能来源：的条件下，判断它的各种可能来源： 来自来自A0的的概率为：概率为：P(A0 |B0)= P(A0 B0)/

11、 P(B0)=20/23； 来自来自A1的的概率为：概率为：P(A1 |B0)= P(A1 B0) / P(B0)=3/23； 同理，同理，在收到在收到1的条件下，判断它的各种可能来源：的条件下，判断它的各种可能来源： 来自来自A0的的概率为：概率为：P(A0 |B1)= P(A0 B1)/ P(B1)=4/13； 来自来自A1的的概率为：概率为：P(A1|B1)= P(A1 B1) / P(B1)=9/13；通信中，由于存在误码，接收端只能知道收到的是通信中，由于存在误码，接收端只能知道收到的是什么符号，并不能百分之百肯定信源发的是什么符号。什么符号，并不能百分之百肯定信源发的是什么符号。必