高数课件_第八章__多元函数微积分学2010

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1、第八章第八章 多元函数微积分学多元函数微积分学8.1 8.1 预备知识预备知识8.28.2 多元函数的概念多元函数的概念8.3 8.3 偏导数与全微分偏导数与全微分8.5 8.5 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值8.6 8.6 二重积分二重积分8.4 8.4 复合函数与隐函数微分法复合函数与隐函数微分法 区域区域（1）邻域）邻域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2 2）区域）区域8.1 8.1 预备知识预备知识平面方程平面方程AxByCzD0一般式：截距式：xyz1abc球面方程球面方程标

2、准式：一般式：2222000(xx )(yy )(zz )R222xyzAxByCzD0练练 习习 一一例例1 1：已知平面与已知平面与 轴、轴、 轴、轴、 轴的截距依次轴的截距依次为为3，4，5，则平面方程为，则平面方程为。xyz例例2:2: 球心为（球心为（3 3，4 4，5 5）半径为）半径为6 6的球面方的球面方程为程为。8.2 多元函数的概念多元函数的概念一、一、 多元函数的定义多元函数的定义二、二、 二元函数的极限二元函数的极限 三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性一、多元函数的定义一、多元函数的定义定义定义当当2 n时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.类似地可

3、定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数1.1.求下列函数的定义域求下列函数的定义域练练 习习 二二xyyxyxf2),(22 )3, 2(f, 则则2. 设设_.二、二元函数的极限二、二元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似定义定义 . 设二元函数设二元函数( )f P定义在定义在 D 上上,00lim( )()PPf Pf P 0( )f PP在在点点如果函数在

4、如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续, 则称此函数则称此函数在在 D 上上000(,),P xyD 如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,0P此时此时称为称为间断点间断点 .则称则称 二元函数二元函数连续连续.连续连续, 三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性 8.3 偏导数与全微分偏导数与全微分一、一、 偏导数偏导数二、二、 全微分全微分一、偏导数一、偏导数（重点）（重点）1、00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 223zxxyy(1,2)例

5、例1 求求 在点在点处的偏导数处的偏导数. yzx )1, 0( xx例例2 2 求函数求函数的偏导数的偏导数.解解 xz,1 yyx yzln .yxx2 2、高阶偏导数、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx xyz

6、2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx13323 xyxyyxz22,zx 2,zy x 2,zx y 22yz 例例3 3设设求求例例4. 求函数求函数2xyze 解解 :zx 22zx zy 2 zx y 2xye 22xye 2xye 22xye 的二阶偏导数的二阶偏导数. 2 zy x 22xye 22zy 24xye 二、全微分概念二、全微分概念例例5. 计算函数计算函数在点在点 (2,1) 处的全微分处的全微分. x yze 解解:zx 22,2(2,1)(2,1)zzeexy22(2,1)2dze d xe d y例例6. 计算函数计算函数的全微分的全微分. s