自动控制原理第4章.

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1、第四章第四章 控制系统的根轨迹分析方法控制系统的根轨迹分析方法 系统闭环特征方程的系统闭环特征方程的根的位置根的位置决定闭环系统决定闭环系统的的稳定性稳定性和和动态特性。动态特性。 l l 研究研究调节器参数调节器参数与与闭环特征根闭环特征根的变化关系，的变化关系，设计设计 调节器调节器（设计问题）。（设计问题）。l l 研究闭环特征研究闭环特征根的分布与根的分布与闭环系统的闭环系统的动态特性动态特性 之间的定性、定量关系（分析问题）；之间的定性、定量关系（分析问题）；l l 根据控制系统根据控制系统动态特性要求动态特性要求决定闭环极点决定闭环极点在根平在根平 面的位置面的位置；伊凡思伊凡思(

2、W.R. Evans)发明根轨迹法发明根轨迹法几何图解求解特征根几何图解求解特征根l l 系统中某一参数在全部范围内（系统中某一参数在全部范围内（0）变化时，）变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。系统闭环特征根随之变化的轨迹。l l 可以推广到其它参数的变化可以推广到其它参数的变化参数根轨迹参数根轨迹。l l 可用于单变量系统和多变量系统。可用于单变量系统和多变量系统。l l 常规根轨迹常规根轨迹法以开环增益法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。做为参数画出根轨迹的。l l 利用这些在利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控平面上形成的轨迹分析和设计闭环控 制系统。制系统。本章主要内容本

3、章主要内容q 以以K为变量的为变量的常规根轨迹常规根轨迹的绘制方法的绘制方法q 以其它参数为变量的以其它参数为变量的参数根轨迹参数根轨迹的绘制方法的绘制方法q 根轨迹分析方法的根轨迹分析方法的应用应用 利用根轨迹分析和设计控制系统利用根轨迹分析和设计控制系统1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念定义：定义：根轨迹根轨迹 系统中某一参数在全部范围内变化时，系统中某一参数在全部范围内变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。系统闭环特征根随之变化的轨迹。1、根轨迹举例、根轨迹举例例例4-1-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。)1s ( s1 K开环传递函数

4、：开环传递函数： )1()()( ssKsHsG分析分析 有有2个开环极点个开环极点,1p, 0p21 没有开环零点。没有开环零点。闭环特征方程闭环特征方程0, 0)()(12 KsssHsG求出求出2个闭环特征根：个闭环特征根：K415 . 05 . 0s2 , 1 （4-1-1） 闭环特征根是闭环特征根是K的函数。当的函数。当K从从0变化，变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹。闭环特征根在根平面上形成根轨迹。闭环传递函数：闭环传递函数： KssKsHsGsG 2)()(1)(K取不同值：取不同值： （等于两个开环极点）（等于两个开环极点） , 0 KImRe0 (两根重合于两根重合于0.

5、5处处) ,41 K（即（即0K1/4，两根为实根）两根为实根） ,25. 00: K1 0.5 (两根为共轭复数根，其实部为两根为共轭复数根，其实部为0.5),41 KK415 . 05 . 0s2 , 1 )1()()( ssKsHsG, 1, 021 ss, 5 . 0, 5 . 021 ss145 . 05 . 02, 1 Kjs )Im(, 5 . 0)Re(,2, 12, 1ssK5 . 01:, 5 . 00:21 ss总结：总结：q 有两个闭环极点，有有两个闭环极点，有2条根轨迹。条根轨迹。q 根轨迹是从根轨迹是从开环极点开环极点出发点。出发点。q 通过选择增益通过选择增益K，

6、可使闭环极点落可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上。在根轨迹的任何位置上。q 如果根轨迹上某一点满足动态特如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的性要求，可以计算该点的K值实现值实现设计要求。设计要求。ImRe010.5)1()()( ssKsHsG这是个？阶系统，这是个？阶系统，2q 根轨迹上的点与根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。值一一对应。根轨迹是连续的。例例4-1-2 2323 5.0 对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数的阻尼系数=0.5，确定系统闭环特征根。确定系统闭环特征根。根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角

7、。根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。解：解：阻尼角阻尼角计算如下：计算如下：,312 tg60 js2, 12001 235 . 0j ImRe01 0.5q 阻尼系数为阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的时的射线与根轨迹交点处的K值可值可以计算出来。以计算出来。 q 与（与（4-1-1）式比较得：）式比较得：,314 k即即K=1。 K415 . 05 . 0s2 , 1 （4-1-1） 获得系统的根轨迹有两个方法：获得系统的根轨迹有两个方法：q 图解法：利用图解法：利用Evans总结的总结的 规律画出根轨迹。规律画出根轨迹。 近似近似,简单，尤其适合高阶系统简单，尤其适合高阶系统q

8、 解析法：对闭环特征方程解解析法：对闭环特征方程解 析求解，逐点描绘。析求解，逐点描绘。 精确，工作量大精确，工作量大2323 5.0 ImRe01 0.5232, 15 . 0js 2 根轨迹的基本性质及绘图规则根轨迹的基本性质及绘图规则1、根轨迹的基本关系式、根轨迹的基本关系式典型的反馈控制系统如图典型的反馈控制系统如图: G(s)H(s)其其开环传递函数：开环传递函数：（4-2-1）)()(sbsaK )()()()(2121nmpspspszszszsK niimiipszsK11)()()()(sHsG其中：其中：K:开环增益，开环增益， mizi, 2 , 1, 开环零点，开环零点

9、， 开环极点。开环极点。mnnipi , 2 , 1,闭环传递函数：闭环传递函数：)()(1)(sHsGsG 闭环特征方程为：闭环特征方程为：1)()(, 0)()(1 sHsGsHsG即即 jsHsGjMeesHsGsHsG )()()()()()(1)()( sHsG它们满足：它们满足：1)()( sHsG5 , 3 , 1 l, 1 0180 lG(s)H(s)G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：是复数，在复平面上对应一个矢量：)()(11 niimiipszsK niimiipszsK11)()(K1 miiniizspsK11)()(1 -1 niimiipszsKsHs

10、G11)()()()(绘制根轨迹必须满足的基本条件：绘制根轨迹必须满足的基本条件： （相角公式：积的相角等于相角的和，（相角公式：积的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差）商的相角等于相角的差） )()()()()()(2121nmpspspszszszs 0180 l5 , 3 , 1 l幅值条件幅值条件mnzszszspspspsK 2121相角条件相角条件（积的模等于模的积，商的模等于模的商）（积的模等于模的积，商的模等于模的商）lpszsKniimii 011180)()( miiniizspsK11)()(注意：注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，这两个条件是从系

11、统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的所有满足以上两式的s 值值都是系统的都是系统的特征根特征根，把它们，把它们在在s平面上画出，就构成了平面上画出，就构成了根轨迹根轨迹。 2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。相角条件相角条件)()()()()()(2121nmpspspszszszs 0180 l5 ,3, 1 l幅值条件幅值条件mnzszszspspspsK 2121画法：画法：1. 利用相角条件，找出所有满足相角条件的利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连值