第3章 1-3 平面问题的直角坐标解答

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1、第三章 平面问题的直角坐标解答 3.1 3.1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法多项式解答多项式解答n求解任何一个体力为常量的问题，只需要找到一个双调和函数(应力函数)，如果它满足应力边界条件和位移单值条件，则就是该问题的解答。024422444yyxxysysxyxsxysxfmfmyxyfxxfyxyyyxx22222,n所以问题简化为只求一个未知量双调和函数如此求出的应力必然满足平衡方程“试算法”求解思路的讨论n1. 找一个双调和函数，看它能够满足什么边界条件。然后肯定：把这个边界条件加到物体上，则根据唯一性定理，这个双调和函数所对应的解答就是正确解。n2. 所谓逆解法和半逆解法本质上是

2、一种由根据的猜测。它们能够成立的根本条件是唯一性定理。平面问题的多项式解答平面问题的多项式解答( (逆解法逆解法) )n（3 3）结论：线性函数对应于无荷载的情况，所以）结论：线性函数对应于无荷载的情况，所以应力应力函数函数 的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。（2 2）根据（）根据（2 22323）求出应力分量）求出应力分量 ；00022222yxyfxxfyxyyyxx1. 一次函数一次函数cbyax无体积力，考察其能解决的问题。无体积力，考察其能解决的问题。（1 1）检查）检查是否满足是否满足024422444yyxx能被满足能被满足04（

3、4 4）二次式解决的问题小结）二次式解决的问题小结n能解决图（能解决图（a a）的问题）的问题考察其能解决的问题考察其能解决的问题bxy)3(按照以上步骤很容易得到结果按照以上步骤很容易得到结果应力分量应力分量cxyyx, 0, 0能满足的边界条件为能满足的边界条件为cffcffxcyyxycyyycxxyxcxx.), 0), 0)2ax对于对于xy0（a）2a0;2; 0 xyyxa能解决图（）的问题能解决图（）的问题能解决图（）的问题能解决图（）的问题对于对于bxy对于2cybxyyx, 0; 00; 0;2xyyxc（）xy0（）yx02c三次函数三次函数n2 2）根据（）根据（2 2

4、2323）求出应力分量）求出应力分量 ；3ay（体力不计）考察它能解决什么问题（体力不计）考察它能解决什么问题1 1）检查）检查是否满足是否满足024422444yyxx带入计算后可以知道显然带入计算后可以知道显然满足相容方程满足相容方程00622222yxyfxayxfyxyyyxxxyL2h2h03 3）用应力边界条件）用应力边界条件(2-15)(2-15)边边确定相对应的面力分量。确定相对应的面力分量。na a）检查上、下边界（主边界）检查上、下边界（主边界）102mlhy由：由：ysysxyxsxysxfmfmxhyxyyhyyfmfm2200 xyff说明上、下边界没有面力。说明上、

5、下边界没有面力。b b）检查左、右边界（次边界）检查左、右边界（次边界）0, 0yxff06xyyxay0由：由：ysysxyxsxysxfmfmyLxxyxLxxyxxyxxxffff001106yxfayf06yxfayf02h2hxyL解决矩形截面梁纯弯曲问题解决矩形截面梁纯弯曲问题3.2矩形截面梁的纯弯曲-逆解法 一一. . 计算模型计算模型矩形截面梁，不计体力矩形截面梁，不计体力考察两种情形：考察两种情形：1 1）宽度远小于深度）宽度远小于深度和长度（平面应力）和长度（平面应力）2 2）宽度远大于深度）宽度远大于深度和长度（平面应变）和长度（平面应变）取单位宽度梁研究：令单位宽度上力

6、偶的矩为取单位宽度梁研究：令单位宽度上力偶的矩为M M注：这里假设已知两端的力矩注：这里假设已知两端的力矩M M，采用逆解法求解。，采用逆解法求解。M M的量纲为的量纲为 力力长度长度/ 长度长度 =力力 ）1yzhM0LLxMy2h2h1.1.逆解法框图逆解法框图选择应力函数?04吗满足YES求应力分量NO满足几何边界条件？YES结论NO2.2.步骤（已知面力）步骤（已知面力）a）假设一个应力函数）假设一个应力函数；b）检查）检查是否满足是否满足04c）根据（）根据（223）求应力分量）求应力分量；d）检查所求应力分量）检查所求应力分量能满足什能满足什么样的应力边界条件（么样的应力边界条件（

7、2-15）边边。一一. . 逆解法逆解法e)e)得出函数得出函数能解决何种问题能解决何种问题二二. . 求应力求应力3 3）根据（）根据（2 22323）求出应力分量）求出应力分量 ；1 1）假设应力函数）假设应力函数；3ay2 2）检查）检查是否满足（是否满足（2-242-24）容容024422444yyxx显然满足显然满足00622222yxyfxayxfyxyyyxx三三. . 边界条件边界条件1）检查上、下边界（主边界）检查上、下边界（主边界）,2hyysysxyxsxysxfmfmxhyxyyhyyff220000准确满足准确满足b）检查左、右边界（次边界）检查左、右边界（次边界）L

8、x0 xLxxyf满足满足1, 0ml0, 1,ml1yzhM0LLxMy2h2h要求当要求当 时时Lx00222222dyMydydyhhLxxyhhLxxhhLxx021606223222222222dyMahdyayydydyaydyhhLxxyhhhhLxxhhhhLxx满足满足满足满足Ly0 xL32hMa 故所求应力分量故所求应力分量：yIMhMyyhMayx3121326600 xyy（31）与材力完全相同与材力完全相同yx分布规律分布规律xM1）组成梁端力偶的面力必须按线性分布，解答才是完全精确的。按其它形式分布有误差。（即解答为圣维南原理意义下的精确解）。2）由圣维南原理，不

9、同的面力分布形式，解答只在两端有误差。（对于Lh的梁）离两端较远处，解答是有实用价值的。对于L与h尺寸差不多的梁，（3-1）则无实用价值。（用简单多项式不能获得有用解答）3) 材料力学的公式在梁端一般是不适用的。讨论讨论3-3 纯弯曲梁的位移分量1 1求应变分量求应变分量：由物理方程由物理方程0 xyyxyEIMyEIM）（1221)(1)(1xyxyxyyyxxGEE00 xyyxyIM0yuxvyEIMyvyEIMxuxyyx由由(1)(1)、(2)(2)积分：积分：xfyEIMvyfyxEIMu221u u、v v必须满足必须满足式式xvyu将将u u、v v代入代入 dxxdfdyyd

10、fxEIM21二二. . 求位移分量求位移分量：用几何方程积分用几何方程积分改写为：改写为： dyydfdxxdfxEIM12要使上式成立，必有要使上式成立，必有 dxxdfxEIM2dyydf1 为常量为常量 022012vxxEIMxfuyyf其中其中u0，v0为常量为常量故：故：其中其中 、 u0，v0为常数，须由约束条件求出为常数，须由约束条件求出022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu讨论：讨论：n1. 1. 证明平面假设是正确的证明平面假设是正确的xy由ouyxyEIMu无论约束情况如何（即无论约束情况如何（即 、uo、vo取何值）铅垂线段的转角取何值）铅垂线段的转角xE

11、IMyu对于同一截面，对于同一截面，x为常量为常量也为常量，即横截面保持平面也为常量，即横截面保持平面2 2、梁的各纵向纤维的曲率、梁的各纵向纤维的曲率由02222vxxEIMyEIMv小变形时小变形时EIMxv221与材力结果一致与材力结果一致三三. . 满足约束条件满足约束条件n1 1）简支梁）简支梁按约束确定位移中待定常数按约束确定位移中待定常数Lyx代入位移条件后得：代入位移条件后得：LEIMvu2;0;000位移分量位移分量：022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：xxLEIMvy)(2|0由约束条件由约束条件0|0yLxv0|00yxu0|

12、00yxv22)(2)2(yEIMxxLEIMvyLxEIMu（33）2 2）悬臂梁）悬臂梁n（1 1）假设截面中点）假设截面中点A A无位移无位移且过该点的截面法线不转动且过该点的截面法线不转动xyL022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu在梁右端（在梁右端（x=Lx=L）：）：对于对于y y的任何值的任何值22hyh要求要求：0u0v多项式解答无法满足，在工程实际中难以实现。多项式解答无法满足，在工程实际中难以实现。端部两种约束：设某一点不移动，某一条线段不转动端部两种约束：设某一点不移动，某一条线段不转动。0|0yLxu0|0yLxv00yLxxvoo1dxxyA以（以（1 1

13、）为例研究）为例研究：0|0yLxu0|0yLxv00yLxxv代入后代入后：0020020EIMLvLEIMLu222)(2)(yEIMxLEIMvyxLEIMu位移分量：位移分量：odyyxAEIMLEIMLvu2; 0200梁轴线的挠度方程：梁轴线的挠度方程：20)(2|xLEIMvy转角方程：转角方程：)(|0 xLEIMdxdvy注：注：1)1)对于平面应变问题：对于平面应变问题：1,12EE2)2)若以若以0|0yLxu0|0yLxv00yLxyu代入，确定为移分量，结果如何？请同学们代入，确定为移分量，结果如何？请同学们自己推出。自己推出。二二. .半逆解法：半逆解法：n1.1.半逆解法框图半逆解法框图由边界条件选择某应力的函数式?04吗满足YES求应力分量NO满足边界条件吗?YES结论NOd d）根据（）根据（2-232-23）求应力分量）求应力分量 e e）检查所求应力分量）检查所求应力分量 是否是否满足应力边界条件（满足应力边界条件（2-152-15）边边。a a）根据边界条件选择假）根据边界条件选择假设某应力的函数式设某应力的函数式积分求函数 2.步骤步骤b).b).对应力的函数式积分对应力的函数式积分求求应力函数应力函数 c c）检查是）检查是 否满足否满足04f)f)得出问题的解得出问题的解