第四章特殊变换及其矩阵
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1、第四章第四章 特殊变换及其矩阵特殊变换及其矩阵1、正规变换与正规矩阵、正规变换与正规矩阵正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换（对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等（对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等的推广和抽象，即只关心永恒的主题的推广和抽象，即只关心永恒的主题-“对角化对角化”的问题。这又一次体现出现代的问题。这又一次体现出现代数学高度的数学高度的抽象抽象和和统一统一。链接链接：现代数学的特点与意义现代数学的特点与意义，孙小礼、杜珣，孙小礼、杜珣，大学数学大学数学，1992，2（或（或 杜珣杜珣现代数学引论现代数学引论序言序言）或其他。）或其他。.ABIBA
2、 两方阵两方阵 互逆的条件是成立关系式互逆的条件是成立关系式,A B从纯代数角度看，如果从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制去掉乘积为单位矩阵的限制， 那么两矩阵是可交换矩阵。那么两矩阵是可交换矩阵。联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两再限定两矩阵互为转置矩阵互为转置，即要求成立，即要求成立 ，情况又如，情况又如何？何？TTAAA A 显然对称矩阵显然对称矩阵 和反对称矩阵和反对称矩阵 都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具有性质有性质 的这种新矩阵就的这种新矩阵就“一统江湖一统江湖”
3、，具有了统一性。具有了统一性。()TAA ()TAA TTAAA A 对称矩阵最主要的性质是对称矩阵最主要的性质是可以对角化可以对角化，尤其是可以，尤其是可以正正交对角化交对角化，推广到这种新矩阵后这个性质是否还能保，推广到这种新矩阵后这个性质是否还能保留呢？留呢？对于复方阵（或实方阵）对于复方阵（或实方阵） ，如果存在酉，如果存在酉矩阵矩阵 或正交矩阵或正交矩阵 ，使得，使得或或则称则称 。UQAB、A1HUAUUAUB- -= = =1TQ AQQAQB- -= = =B一、正规变换一、正规变换(Normal Transformation)酉空间酉空间 上的线性变换上的线性变换 称为称为
4、上的一个上的一个，如果，如果存在存在 的的标准正交基标准正交基及对角矩阵及对角矩阵 满足满足并称并称 在任意在任意标准正交基标准正交基 下的矩阵表下的矩阵表示为示为。V12,n L L, ,VVT1212( (),(),()(,)nnT T T D,= =L LL L12(,)nDdiag d dd L L, ,T,12,n L L显然过渡矩阵显然过渡矩阵 是酉矩阵（是酉矩阵（请试试自己证明一下请试试自己证明一下）U 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是酉相似酉相似的。的。证明证明：设正规变换设正规变换 在在 的两组标准正交基的两组标准正交基 和和 下的
5、矩阵表示下的矩阵表示分别为分别为 ，并设，并设AB、12,nL L, ,VT12,n,L L1212(,)(,)nnU,= =L LL L因为因为 12(,)HnUA U,= =L L12(),(),()nTTT= =L L12(),(),()nTTTU= =L L12(,)nA U= =L L, ,12(,)nB,L L所以所以 ，结论成立。，结论成立。HBUA U= =根据定理根据定理3 3，正规变换在任一标准正交基下的矩阵，正规变换在任一标准正交基下的矩阵表示必定酉相似于对角阵，即表示必定酉相似于对角阵，即HUA U= =二、正规矩阵的等价定义二、正规矩阵的等价定义.HU AUT= =1
6、00多年前多年前(1909年年) Schur给出的给出的Schur 引理是矩阵引理是矩阵理论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。理论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵计算中也具有相当重要的地位。在矩阵计算中也具有相当重要的地位。并称并称 为方阵为方阵 的的。AHAUTU= =( ( Schur 引理引理 ) ) 任何复方阵任何复方阵 必必酉相似酉相似于于一个一个上三角阵上三角阵 。即存在酉矩阵。即存在酉矩阵 ，使，使AUT根据根据Schur引理，引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙可以推出正规矩阵的一个相当美妙的性质，此性质经常被当作的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义正
7、规矩阵的等价定义。方阵方阵 是正规的，当且仅当是正规的，当且仅当A.HHAAA A= =为证明这个结论，再给出一个为证明这个结论，再给出一个引理引理。满足满足 的三角阵的三角阵 必是必是对角阵。对角阵。THHTTT T= =证证明明22221|i ii nii ittttHHTTT T= =对上三角阵对上三角阵 ，比较等式，比较等式()i jTt 两边乘积矩阵在第两边乘积矩阵在第 行第行第 列位置上的元素列位置上的元素 ，并注，并注意到意到 ，因此对，因此对 ，有，有ii0 ()i jtij1,2,in 22221112111|ntttt当当 时，有时，有 1i 可知可知10 (2,3, )j
8、tjni对对 施行归纳法，可得施行归纳法，可得 ，证毕。，证毕。0 ()i jtij定定理理 5 的的证证明明。如果。如果 是正规矩阵，那么存在酉是正规矩阵，那么存在酉矩阵矩阵 及对角阵及对角阵 ，使得，使得HAUDU AUD因此因此()()HHHHHAAUDUUDUUDDU()()HHHHUDDUUDUUDUA A。根据。根据Schur引理引理，存在酉矩阵，存在酉矩阵 及及上三角阵上三角阵 ，使得，使得HAUTU UT显然显然 当且仅当当且仅当 。根据根据引理引理6， 是对角矩阵。故是对角矩阵。故 是正规阵。是正规阵。HHA AAA HHT TTT AT例例 7 7 判断下列矩阵是不是正规矩
9、阵：判断下列矩阵是不是正规矩阵：（1）实对称矩阵（）实对称矩阵（ ）；）；TAA （2）实反对称矩阵（）实反对称矩阵（ ）；）；TAA （3）正交矩阵）正交矩阵 （ ）；）；1TAA （4）酉矩阵（）酉矩阵（ ）；）；1HAA （5）Hermite 矩阵矩阵（ ）；）；HAA （6）反反Hermite 矩阵矩阵（ ）；）；HAA （7）形如）形如 的矩阵。的矩阵。11,11aaR or C 天下英雄尽天下英雄尽入吾彀矣！入吾彀矣！与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。11()()HHBBUAU UAU-= =11HHHHHUAA UAAUUUU-=1HHU
10、UA A-= =1111()() ()HHHHU AAUUUUAUUAU- - - - -= = =.HB B= =如果存在酉矩阵如果存在酉矩阵 ，使得，使得 ，则，则1BUAU- -= =UHHUUA A= =方阵方阵 是正规的，当且仅当是正规的，当且仅当 与对角矩与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。征值。AA。如果。如果 是正规矩阵，那么存在酉是正规矩阵，那么存在酉矩阵矩阵 及对角阵及对角阵 使得使得 ，即，即HU AU A1(,)nUuu 1(,)ndiag AUU因此因此1111(,)(,)(,)nnnnA uuAu
11、Auuu。若有。若有 ，显然可验证，显然可验证HU AU HHA AAA 方阵方阵 是正规的，当且仅当是正规的，当且仅当 有有 个个两两正交的单位特征向量两两正交的单位特征向量, ,即对应于不同特征值的特即对应于不同特征值的特征子空间相互正交（完备正交系）。征子空间相互正交（完备正交系）。AAn。如果。如果 是正规矩阵，那么存在酉是正规矩阵，那么存在酉矩阵矩阵 及对角阵及对角阵 使得使得 ，即，即HU AU A1(,)nUuu 1(,)ndiag AUU因此因此1111(,)(,)(,)nnnnA uuAuAuuu。若。若 有有 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量 ，取，取 即可
